Разширяване на определителя в третия ред. Матричен детерминант онлайн. Общи сведения за матриците. Основни определения

Детерминантата се изчислява само за квадратни матрици и е сумата от членовете от n-ти ред. Подробен алгоритъм за изчисляването му ще бъде описан в готово решение, което можете да получите веднага след въвеждане на условието в този онлайн калкулатор. Това е достъпна и лесна възможност да получите подробна теория, тъй като решението ще бъде представено с подробно обяснение на всяка стъпка.

Инструкциите за използване на този калкулатор са прости. За да намерите детерминанта на матрица онлайн, първо трябва да вземете решение за размера на матрицата и да изберете броя на колоните и съответно редовете в нея. За да направите това, щракнете върху иконата "+" или "-". Остава само да въведете необходимите числа и да щракнете върху „Изчисли“. Можете да въвеждате както цели, така и дробни числа. Калкулаторът ще свърши цялата необходима работа и ще ви даде крайния резултат.

За да станете експерт по математика, трябва да практикувате много и упорито. И никога не боли да проверите отново себе си. Следователно, когато ви бъде дадена задача да изчислите детерминантата на матрица, препоръчително е да използвате онлайн калкулатор. Той ще се справи много бързо и след няколко секунди на монитора ще се появи готово решение. Това не означава, че онлайн калкулаторът трябва да замени традиционните изчисления за вас. Но това е отлична помощ, ако се интересувате от разбирането на алгоритъма за изчисляване на детерминанта на матрица. Освен това това е отлична възможност да проверите дали тестът е попълнен правилно и да се застраховате срещу неуспешна оценка.

Матрична детерминанта

Намирането на детерминанта на матрица е много често срещан проблем във висшата математика и алгебра. По правило не може да се направи без стойността на детерминанта на матрицата при решаване на сложни системи от уравнения. Методът на Крамер за решаване на системи от уравнения се основава на изчисляване на детерминанта на матрица. С помощта на определението за детерминанта се определя наличието и уникалността на решение на система от уравнения. Следователно е трудно да се надцени значението на способността за правилно и точно намиране на детерминанта на матрица в математиката. Методите за решаване на детерминантите са теоретично доста прости, но с увеличаването на размера на матрицата изчисленията стават много тромави и изискват голямо внимание и много време. Много е лесно да се допусне малка грешка или печатна грешка в такива сложни математически изчисления, което ще доведе до грешка в крайния отговор. Така че дори и да намерите матрична детерминантасами, важно е да проверите резултата. Това може да стане с нашата услуга Намиране на детерминанта на матрица онлайн. Нашата услуга винаги дава абсолютно точни резултати, без грешки или технически грешки. Можете да откажете независими изчисления, защото от приложна гледна точка намирането детерминанта на матрицатаНяма образователен характер, а просто изисква много време и числени изчисления. Следователно, ако във вашата задача дефиниция на детерминанта на матрицатаса спомагателни, странични изчисления, използвайте нашата услуга и намерете детерминанта на матрица онлайн!

Всички изчисления се извършват автоматично с най-висока точност и са абсолютно безплатни. Имаме много удобен интерфейс за въвеждане на матрични елементи. Но основната разлика между нашата услуга и подобни е възможността за получаване на подробно решение. Нашата услуга в изчисляване на детерминанта на матрица онлайнвинаги използва най-простия и кратък метод и описва подробно всяка стъпка от трансформации и опростявания. Така че получавате не само стойността на детерминантата на матрицата, крайния резултат, но и цялостно подробно решение.

За да изчислите детерминантата на матрица от четвърти ред или по-висок, можете да разширите детерминантата по ред или колона или да приложите метода на Гаус и да намалите детерминантата до триъгълна форма. Нека разгледаме разлагането на детерминантата в ред или колона.

Детерминантата на матрицата е равна на сумата от елементите на реда на детерминантата, умножени по техните алгебрични допълнения:

Разширяване от аз- тази линия.

Детерминантата на матрицата е равна на сумата от елементите на детерминантната колона, умножена по техните алгебрични допълнения:

Разширяване от й- тази линия.

За да се улесни декомпозицията на детерминантата на матрица, обикновено се избира редът/колона, който има максимален брой нулеви елементи.

Пример

Нека намерим детерминантата на матрица от четвърти ред.

Ще разширим тази детерминанта колона по колона №3

Нека направим нула вместо елемент a 4 3 =9. За да направите това от линията №4 извадете от съответните елементи на линията №1 умножено по 3 .
Резултатът се записва в реда №4 Всички останали редове са пренаписани без промени.

Така че направихме всички елементи нули, освен а 1 3 = 3в колоната № 3 . Сега можем да продължим към по-нататъшно разширяване на детерминантата зад тази колона.

Виждаме, че само терминът №1 не се превръща в нула, всички останали членове ще бъдат нули, тъй като се умножават по нула.
Това означава, че допълнително трябва да разширим само една детерминанта:

Ще разширим тази детерминанта ред по ред №1 . Нека направим някои трансформации, за да улесним по-нататъшните изчисления.

Виждаме, че има две еднакви числа в този ред, така че изваждаме от колоната №3 колона №2 и запишете резултата в колоната №3 , това няма да промени стойността на детерминантата.

След това трябва да направим нула вместо елемент a 1 2 =4. За това имаме колонни елементи №2 умножете по 3 и извадете от него съответните елементи на колоната №1 умножено по 4 . Резултатът се записва в колоната №2 Всички останали колони са пренаписани без промени.

Но не трябва да забравяме, че ако умножим колона №2 На 3 , тогава цялата детерминанта ще се увеличи с 3 . И за да не се променя, това означава, че трябва да се раздели на 3 .

Нека си припомним теоремата на Лаплас:
Теорема на Лаплас:

Нека k реда (или k колони) са произволно избрани в детерминанта d от ред n, . Тогава сумата от произведенията на всички минори от k-ти ред, съдържащи се в избраните редове и техните алгебрични допълнения, е равна на детерминантата d.

За да се изчислят детерминанти, в общия случай k се приема равно на 1. Тоест, в детерминанта d от ред n произволно се избира ред (или колона). Тогава сумата от произведенията на всички елементи, съдържащи се в избрания ред (или колона) и техните алгебрични допълнения е равна на детерминантата d.

Пример:
Изчислителна детерминанта

Решение:

Нека изберем произволен ред или колона. Поради причина, която ще стане очевидна малко по-късно, ще ограничим избора си или до третия ред, или до четвъртата колона. И да спрем на третия ред.

Нека използваме теоремата на Лаплас.

Първият елемент от избрания ред е 10, той се появява в третия ред и първата колона. Нека изчислим алгебричното допълнение към него, т.е. Нека намерим детерминантата, получена чрез задраскване на колоната и реда, на които стои този елемент (10), и разберем знака.

„плюс, ако сборът от числата на всички редове и колони, в които се намира второстепенното М, е четен, и минус, ако този сбор е нечетен.“
И взехме второстепенното, състоящо се от един единствен елемент 10, който е в първата колона на третия ред.

Така:

Четвъртият член на тази сума е 0, поради което си струва да изберете редове или колони с максимален брой нулеви елементи.

Отговор: -1228

Пример:
Изчислете детерминантата:

Решение:
Нека изберем първата колона, защото... два елемента в него са равни на 0. Нека разгърнем детерминантата по първата колона.

Ние разширяваме всяка от детерминантите от трети ред по първия втори ред

Ние разширяваме всяка от детерминантите от втори ред по първата колона

Отговор: 48
коментар:при решаването на този проблем не са използвани формули за изчисляване на детерминанти от 2-ри и 3-ти ред. Използвано е само разлагане на ред или колона. Което води до намаляване на реда на детерминантите.

Формулиране на проблема

Задачата изисква потребителят да се запознае с основните понятия на числените методи, като детерминанта и обратна матрица, и различни начини за тяхното изчисляване. Този теоретичен доклад първо въвежда основните понятия и дефиниции на прост и достъпен език, въз основа на които се извършват по-нататъшни изследвания. Потребителят може да няма специални познания в областта на числените методи и линейната алгебра, но може лесно да използва резултатите от тази работа. За нагледност е дадена програма за изчисляване на детерминанта на матрица по няколко метода, написана на езика за програмиране C++. Програмата се използва като лабораторен стенд за създаване на илюстрации към доклада. Провежда се и изследване на методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения. Безполезността на изчисляването на обратната матрица е доказана, така че работата предоставя по-оптимални начини за решаване на уравнения, без да се изчислява. Той обяснява защо има толкова много различни методи за изчисляване на детерминанти и обратни матрици и обсъжда техните недостатъци. Отчитат се и грешките при изчисляване на детерминантата и се оценява постигнатата точност. В допълнение към руските термини, работата използва и техните английски еквиваленти, за да разбере под какви имена да търсите числените процедури в библиотеките и какво означават техните параметри.

Основни определения и най-прости свойства

Определящо

Нека въведем дефиницията на детерминантата на квадратна матрица от произволен ред. Това определение ще бъде рецидивиращ, тоест, за да установите каква е детерминантата на матрицата на подредбата, трябва вече да знаете каква е детерминантата на матрицата на подредбата. Обърнете внимание също, че детерминантата съществува само за квадратни матрици.

Ще обозначим детерминантата на квадратна матрица с или det.

Определение 1. Определящоквадратна матрица извиква се номер на втори ред .

Определящо квадратна матрица от ред , се нарича число

където е детерминантата на матрицата на реда, получена от матрицата чрез изтриване на първия ред и колона с номер.

За по-голяма яснота, нека запишем как можете да изчислите детерминантата на матрица от четвърти ред:

Коментирайте.Действителното изчисляване на детерминантите за матрици над трети ред въз основа на дефиницията се използва в изключителни случаи. Обикновено изчислението се извършва с помощта на други алгоритми, които ще бъдат обсъдени по-късно и които изискват по-малко изчислителна работа.

Коментирайте.В Дефиниция 1 би било по-точно да се каже, че детерминантата е функция, дефинирана върху набор от квадратни матрици от ред и приемащи стойности в набора от числа.

Коментирайте.В литературата вместо понятието „детерминанта“ се използва и понятието „детерминанта“, което има същото значение. От думата „детерминант“ се появява обозначението дет.

Нека разгледаме някои свойства на детерминантите, които ще формулираме под формата на твърдения.

Твърдение 1.При транспониране на матрица детерминантата не се променя, т.е.

Твърдение 2.Детерминантата на произведението на квадратни матрици е равна на произведението на детерминантите на факторите, т.е.

Твърдение 3.Ако два реда в една матрица се разменят, нейният детерминант ще промени знака.

Твърдение 4.Ако една матрица има два еднакви реда, тогава нейният детерминант е нула.

В бъдеще ще трябва да добавяме низове и да умножаваме низ по число. Ще изпълняваме тези действия върху редове (колони) по същия начин, както действията върху матрици на редове (матрици на колони), тоест елемент по елемент. Резултатът ще бъде ред (колона), който по правило не съвпада с редовете на оригиналната матрица. Ако има операции за добавяне на редове (колони) и умножаването им по число, можем да говорим и за линейни комбинации от редове (колони), тоест суми с числови коефициенти.

Твърдение 5.Ако ред от матрица се умножи по число, тогава неговият детерминант ще бъде умножен по това число.

Твърдение 6.Ако една матрица съдържа нулев ред, тогава нейният детерминант е нула.

Твърдение 7.Ако един от редовете на матрицата е равен на друг, умножен по число (редовете са пропорционални), тогава детерминантата на матрицата е равна на нула.

Твърдение 8.Нека i-тият ред в матрицата има формата . Тогава , където матрицата се получава от матрицата чрез заместване на i-тия ред с реда , а матрицата се получава чрез заместване на i-тия ред с реда .

Твърдение 9.Ако добавите друг ред към един от редовете на матрицата, умножен по число, тогава детерминантата на матрицата няма да се промени.

Твърдение 10.Ако един от редовете на матрицата е линейна комбинация от другите й редове, тогава детерминантата на матрицата е равна на нула.

Определение 2. Алгебрично допълнениекъм матричен елемент е число, равно на , където е детерминантата на матрицата, получена от матрицата чрез изтриване на i-тия ред и j-тата колона. Алгебричното допълнение на матричен елемент се означава с .

Пример.Позволявам . Тогава

Коментирайте.Използвайки алгебрични допълнения, дефиницията на 1 детерминанта може да бъде записана по следния начин:

Твърдение 11. Разгъване на детерминантата в произволен низ.

Формулата за детерминанта на матрицата е

Пример.Изчисли .

Решение.Нека използваме разширението по третия ред, това е по-изгодно, тъй като в третия ред две от трите числа са нули. Получаваме

Твърдение 12.За квадратна матрица от ред при , отношението е валидно: .

Твърдение 13.Всички свойства на детерминантата, формулирани за редове (изявления 1 - 11), са валидни и за колони, по-специално декомпозицията на детерминантата в j-тата колона е валидна и равенство при .

Твърдение 14.Детерминантата на триъгълна матрица е равна на произведението на елементите на главния й диагонал.

Последица.Детерминантата на матрицата на идентичност е равна на едно, .

Заключение.Свойствата, изброени по-горе, позволяват да се намерят детерминанти на матрици от достатъчно високи порядки с относително малко количество изчисления. Алгоритъмът за изчисление е както следва.

Алгоритъм за създаване на нули в колона.Да предположим, че трябва да изчислим детерминантата на реда. Ако , тогава разменете първия ред и всеки друг ред, в който първият елемент не е нула. В резултат на това детерминантата , ще бъде равна на детерминантата на новата матрица с обратен знак. Ако първият елемент на всеки ред е равен на нула, тогава матрицата има нулева колона и съгласно твърдения 1, 13 нейният детерминант е равен на нула.

И така, ние вярваме, че вече в оригиналната матрица . Оставяме първия ред непроменен. Добавете към втория ред първия ред, умножен по числото. Тогава първият елемент от втория ред ще бъде равен на .

Означаваме останалите елементи от новия втори ред с , . Детерминантата на новата матрица съгласно твърдение 9 е равна на . Умножете първия ред по число и го добавете към третия. Първият елемент от новия трети ред ще бъде равен на

Означаваме останалите елементи от новия трети ред с , . Детерминантата на новата матрица съгласно твърдение 9 е равна на .

Ще продължим процеса на получаване на нули вместо първите елементи на линиите. Накрая умножете първия ред по число и го добавете към последния ред. Резултатът е матрица, нека я обозначим , която има формата

и . За да изчислим детерминантата на матрицата, използваме разширение в първата колона

От тогава

От дясната страна е детерминантата на матрицата на реда. Прилагаме към него същия алгоритъм и изчисляването на детерминантата на матрицата ще се сведе до изчисляване на детерминантата на матрицата на реда. Повтаряме процеса, докато достигнем детерминанта от втори ред, която се изчислява по дефиниция.

Ако матрицата няма специфични свойства, тогава не е възможно значително да се намали количеството на изчисленията в сравнение с предложения алгоритъм. Друг добър аспект на този алгоритъм е, че е лесно да се използва за създаване на компютърна програма за изчисляване на детерминанти на матрици от големи поръчки. Стандартните програми за изчисляване на детерминанти използват този алгоритъм с незначителни промени, свързани с минимизиране на влиянието на грешки при закръгляване и грешки при въвеждане на данни при компютърни изчисления.

Пример.Изчисляване на детерминанта на матрица .

Решение.Оставяме първия ред непроменен. Към втория ред добавяме първия, умножен по числото:

Детерминантата не се променя. Към третия ред добавяме първия, умножен по числото:

Детерминантата не се променя. Към четвъртия ред добавяме първия, умножен по числото:

Детерминантата не се променя. В резултат на това получаваме

Използвайки същия алгоритъм, изчисляваме детерминантата на матрицата от ред 3, разположена вдясно. Оставяме първия ред непроменен, добавяме първия ред, умножен по числото, към втория ред :

Към третия ред добавяме първия, умножен по числото :

В резултат на това получаваме

Отговор. .

Коментирайте.Въпреки че при изчисленията са използвани дроби, резултатът се оказва цяло число. Наистина, използвайки свойствата на детерминантите и факта, че оригиналните числа са цели числа, операциите с дроби могат да бъдат избегнати. Но в инженерната практика числата изключително рядко са цели числа. Следователно, като правило, елементите на детерминантата ще бъдат десетични дроби и е неуместно да се използват каквито и да било трикове за опростяване на изчисленията.

обратна матрица

Определение 3.Матрицата се нарича обратна матрицаза квадратна матрица, ако .

От дефиницията следва, че обратната матрица ще бъде квадратна матрица от същия ред като матрицата (в противен случай един от продуктите или няма да бъде дефиниран).

Обратната матрица се означава с . Следователно, ако съществува, тогава .

От определението за обратна матрица следва, че матрицата е обратна на матрицата, т.е. Можем да кажем за матриците, че те са обратни една на друга или взаимно обратни.

Ако детерминантата на матрица е нула, тогава нейната обратна не съществува.

Тъй като за намиране на обратната матрица е важно дали детерминантата на матрицата е равна на нула или не, въвеждаме следните определения.

Определение 4.Нека наречем квадратната матрица изродениили специална матрица, ако неизродениили неособена матрица, Ако .

Изявление.Ако обратната матрица съществува, тогава тя е уникална.

Изявление.Ако квадратната матрица е неособена, тогава нейната обратна съществува и (1) където са алгебрични допълнения към елементите.

Теорема.Обратна матрица за квадратна матрица съществува тогава и само ако матрицата е неособена, обратната матрица е уникална и формула (1) е валидна.

Коментирайте.Особено внимание трябва да се обърне на местата, заети от алгебрични добавки във формулата на обратната матрица: първият индекс показва числото колона, а второто е числото линии, в който трябва да напишете изчисленото алгебрично събиране.

Пример. .

Решение.Намиране на определителя

Тъй като , тогава матрицата е неизродена и нейната обратна съществува. Намиране на алгебрични допълнения:

Съставяме обратната матрица, като поставяме намерените алгебрични добавки така, че първият индекс да съответства на колоната, а вторият на реда: (2)

Получената матрица (2) служи като отговор на проблема.

Коментирайте.В предишния пример би било по-точно да напишете отговора така:
(3)

Нотацията (2) обаче е по-компактна и е по-удобно да се извършват допълнителни изчисления с нея, ако е необходимо. Следователно записването на отговора във формата (2) е за предпочитане, ако елементите на матрицата са цели числа. И обратно, ако елементите на матрицата са десетични дроби, тогава е по-добре да напишете обратната матрица без множител отпред.

Коментирайте.Когато намирате обратната матрица, трябва да извършите доста изчисления и правилото за подреждане на алгебрични добавки в крайната матрица е необичайно. Следователно има голяма вероятност за грешка. За да избегнете грешки, трябва да проверите: изчислете произведението на оригиналната матрица и крайната матрица в един или друг ред. Ако резултатът е единична матрица, тогава обратната матрица е намерена правилно. В противен случай трябва да потърсите грешка.

Пример.Намерете обратното на матрица .

Решение. - съществува.

Отговор: .

Заключение.Намирането на обратната матрица с помощта на формула (1) изисква твърде много изчисления. За матрици от четвърти ред и по-висок това е неприемливо. Действителният алгоритъм за намиране на обратната матрица ще бъде даден по-късно.