Penguraian matriks menjadi elemen-elemen. Penentu matriks. Rumus determinan

Definisi1. 7. Minor unsur determinan adalah determinan yang diperoleh dari suatu unsur tertentu dengan cara mencoret baris dan kolom tempat unsur yang dipilih itu muncul.

Penunjukan: elemen determinan yang dipilih, minornya.

Contoh. Untuk

Definisi1. 8. Komplemen aljabar unsur determinan disebut minor jika jumlah indeks unsur i+j adalah bilangan genap, atau bilangan yang berlawanan dengan minor jika i+j ganjil, yaitu.

Mari kita pertimbangkan cara lain untuk menghitung determinan orde ketiga - yang disebut perluasan baris atau kolom. Untuk melakukan ini, kita buktikan teorema berikut:

Teorema 1.1. Penentunya sama dengan jumlah hasil kali elemen-elemen baris atau kolom mana pun dan komplemen aljabarnya, yaitu.

dimana saya=1,2,3.

Bukti.

Mari kita buktikan teorema untuk baris pertama determinan, karena untuk baris atau kolom lainnya seseorang dapat melakukan penalaran yang sama dan memperoleh hasil yang sama.

Mari kita cari komplemen aljabar pada elemen baris pertama:

Jadi, untuk menghitung determinan, cukup mencari komplemen aljabar elemen-elemen baris atau kolom mana pun dan menghitung jumlah produknya dengan elemen-elemen determinan yang bersesuaian.

Contoh. Mari kita hitung determinannya menggunakan ekspansi pada kolom pertama. Perhatikan bahwa dalam hal ini tidak perlu mencari, karena akibatnya kita akan menemukan dan Karena itu,

Penentu tingkat yang lebih tinggi.

Definisi1. 9. determinan orde ke-n

ada jumlah n! anggota masing-masing sesuai dengan salah satu dari n! himpunan terurut diperoleh dengan r permutasi berpasangan elemen-elemen dari himpunan 1,2,…,n.

Catatan 1. Sifat-sifat determinan orde ke-3 juga berlaku untuk determinan orde ke-n.

Catatan 2. Dalam praktiknya, determinan orde tinggi dihitung dengan menggunakan perluasan baris atau kolom. Hal ini memungkinkan kita untuk menurunkan urutan determinan yang dihitung dan pada akhirnya mengurangi masalah menjadi menemukan determinan orde ketiga.

Contoh. Mari kita hitung determinan orde ke-4 menggunakan pemuaian sepanjang kolom ke-2. Untuk melakukan ini, kita akan menemukan:

Karena itu,

teorema Laplace- salah satu teorema aljabar linier. Dinamakan setelah ahli matematika Perancis Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827), yang berjasa merumuskan teorema ini pada tahun 1772, meskipun kasus khusus dari teorema ini tentang penguraian determinan dalam suatu baris (kolom) diketahui oleh Leibniz. .

Lapisan kecil didefinisikan sebagai berikut:

Pernyataan berikut ini benar.

Banyaknya minor yang dijumlahkan dalam teorema Laplace sama dengan banyaknya cara memilih kolom dari , yaitu koefisien binomial.

Karena baris dan kolom matriks ekuivalen terhadap sifat-sifat determinannya, teorema Laplace dapat dirumuskan untuk kolom-kolom matriks.

Perluasan determinan dalam satu baris (kolom) (Akibat 1)

Kasus khusus teorema Laplace yang terkenal adalah perluasan determinan dalam baris atau kolom. Hal ini memungkinkan Anda untuk merepresentasikan determinan matriks persegi sebagai jumlah produk elemen baris atau kolom mana pun dan komplemen aljabarnya.

Misalkan matriks persegi berukuran . Misalkan juga diberikan nomor baris atau nomor kolom matriks tersebut. Kemudian determinannya dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut.

Sifat-sifat selanjutnya berkaitan dengan konsep komplemen minor dan aljabar

Minor elemen disebut determinan, terdiri dari elemen-elemen yang tersisa setelah baris dan kolom dicoret pada perpotongan dimana elemen tersebut berada. Elemen minor dari determinan ordo memiliki keteraturan . Kami akan menyatakannya dengan .

Contoh 1. Membiarkan , Kemudian .

Minor ini diperoleh dari A dengan mencoret baris kedua dan kolom ketiga.

Komplemen aljabar elemen disebut minor yang sesuai dikalikan dengan , mis. , dimana adalah banyaknya baris dan kolom pada perpotongan dimana elemen tersebut berada.

VIII.(Penguraian determinan menjadi elemen-elemen string tertentu). Penentunya sama dengan jumlah hasil kali elemen-elemen suatu baris tertentu dan komplemen aljabarnya yang bersesuaian.

Contoh 2. Membiarkan , Kemudian

Contoh 3. Mari kita cari determinan matriksnya , menguraikannya menjadi elemen baris pertama.

Secara formal, teorema ini dan sifat-sifat determinan lainnya hanya berlaku untuk determinan matriks yang tidak lebih tinggi dari orde ketiga, karena kita belum mempertimbangkan determinan lainnya. Definisi berikut akan memungkinkan kita memperluas sifat-sifat ini ke determinan dengan orde apa pun.

Penentu matriks memesan adalah bilangan yang dihitung dengan penerapan teorema ekspansi dan sifat determinan lainnya secara berurutan.

Anda dapat memeriksa bahwa hasil perhitungan tidak bergantung pada urutan penerapan properti di atas dan untuk baris dan kolom mana. Dengan menggunakan definisi ini, determinannya ditemukan secara unik.

Meskipun definisi ini tidak memuat rumus eksplisit untuk mencari determinan, definisi ini memungkinkan seseorang menemukannya dengan mereduksinya menjadi determinan matriks-matriks yang berorde lebih rendah. Definisi seperti itu disebut berulang.

Contoh 4. Hitung determinannya:

Meskipun teorema faktorisasi dapat diterapkan pada setiap baris atau kolom matriks tertentu, perhitungan yang lebih sedikit diperoleh dengan memfaktorkan sepanjang kolom yang berisi angka nol sebanyak mungkin.

Karena matriks tidak mempunyai elemen nol, kita memperolehnya menggunakan properti VII. Lipat gandakan baris pertama secara berurutan dengan angka dan tambahkan ke baris dan dapatkan:

Mari kita perluas determinan yang dihasilkan di sepanjang kolom pertama dan dapatkan:

karena determinannya memuat dua kolom proporsional.

Beberapa jenis matriks dan determinannya

Matriks persegi yang mempunyai elemen nol di bawah atau di atas diagonal utama () disebut segitiga.

Struktur skemanya terlihat seperti: atau

Ketika memecahkan masalah matematika tingkat tinggi, kebutuhan sangat sering muncul menghitung determinan suatu matriks. Penentu suatu matriks muncul dalam aljabar linier, geometri analitik, analisis matematika, dan cabang matematika tingkat tinggi lainnya. Jadi, tidak mungkin dilakukan tanpa keterampilan memecahkan determinan. Selain itu, untuk pengujian mandiri, Anda dapat mengunduh kalkulator determinan secara gratis; kalkulator ini tidak akan mengajarkan Anda cara menyelesaikan determinan dengan sendirinya, tetapi sangat mudah, karena selalu bermanfaat untuk mengetahui jawaban yang benar terlebih dahulu!

Saya tidak akan memberikan definisi matematis yang ketat tentang determinan, dan, secara umum, saya akan mencoba meminimalkan terminologi matematika; hal ini tidak akan memudahkan sebagian besar pembaca. Tujuan artikel ini adalah untuk mengajari Anda cara menyelesaikan determinan orde kedua, ketiga, dan keempat. Semua materi disajikan dalam bentuk yang sederhana dan mudah diakses, bahkan teko penuh (kosong) dalam matematika tingkat tinggi, setelah mempelajari materi dengan cermat, akan mampu menyelesaikan determinan dengan benar.

Dalam praktiknya, paling sering Anda dapat menemukan determinan orde kedua, misalnya: dan determinan orde ketiga, misalnya: .

Penentu orde keempat Ini juga bukan barang antik, dan kita akan membahasnya di akhir pelajaran.

Saya harap semua orang memahami hal berikut: Angka-angka di dalam determinan hidup dengan sendirinya, dan tidak ada pertanyaan tentang pengurangan apa pun! Nomor tidak dapat ditukar!

(Khususnya, dimungkinkan untuk melakukan penataan ulang baris atau kolom determinan secara berpasangan dengan perubahan tandanya, tetapi seringkali hal ini tidak perlu - lihat pelajaran berikutnya Sifat-sifat determinan dan menurunkan urutannya)

Jadi, jika ada determinan yang diberikan, maka Kami tidak menyentuh apa pun di dalamnya!

Sebutan: Jika diberi matriks , maka determinannya dilambangkan . Juga sangat sering determinan dilambangkan dengan huruf Latin atau Yunani.

1)Apa yang dimaksud dengan menyelesaikan (menemukan, mengungkapkan) suatu determinan? Menghitung determinannya berarti MENCARI ANGKANYA. Tanda tanya pada contoh di atas adalah bilangan biasa.

2) Sekarang tinggal mencari tahu BAGAIMANA menemukan nomor ini? Untuk melakukan ini, Anda perlu menerapkan aturan, rumus, dan algoritma tertentu, yang sekarang akan dibahas.

Mari kita mulai dengan determinan "dua" dengan "dua":

INI PERLU DIINGAT, setidaknya saat mempelajari matematika tingkat tinggi di universitas.

Mari kita lihat contohnya segera:

Siap. Yang penting JANGAN BINGUNG DALAM TANDA-TANDANYA.

Penentu matriks tiga kali tiga dapat dibuka dengan 8 cara, 2 sederhana dan 6 normal.

Mari kita mulai dengan dua cara sederhana

Mirip dengan determinan dua-dua, determinan tiga-tiga dapat diperluas menggunakan rumus:

Rumusnya panjang dan mudah terjadi kesalahan karena kecerobohan. Bagaimana cara menghindari kesalahan yang mengganggu? Untuk tujuan ini, metode penghitungan determinan kedua ditemukan, yang sebenarnya bertepatan dengan metode pertama. Ini disebut metode Sarrus atau metode “strip paralel”.
Intinya adalah di sebelah kanan determinan, tetapkan kolom pertama dan kedua dan gambar garis dengan hati-hati dengan pensil:

Pengganda yang terletak pada diagonal “merah” disertakan dalam rumus dengan tanda “plus”.
Pengganda yang terletak pada diagonal “biru” disertakan dalam rumus dengan tanda minus:

Contoh:

Bandingkan kedua solusi tersebut. Sangat mudah untuk melihat bahwa ini adalah hal yang SAMA, hanya saja pada kasus kedua faktor rumusnya sedikit diatur ulang, dan yang terpenting, kemungkinan membuat kesalahan jauh lebih kecil.

Sekarang mari kita lihat enam cara normal menghitung determinan

Mengapa biasa saja? Karena dalam sebagian besar kasus, kualifikasi perlu diungkapkan dengan cara ini.

Seperti yang Anda perhatikan, determinan tiga kali tiga memiliki tiga kolom dan tiga baris.
Anda dapat menyelesaikan determinannya dengan membukanya oleh baris mana pun atau kolom mana pun.
Jadi, ada 6 metode yang digunakan dalam semua kasus Tipe yang sama algoritma.

Penentu matriks sama dengan jumlah hasil kali elemen-elemen baris (kolom) dan komplemen aljabar yang bersesuaian. Menakutkan? Semuanya jauh lebih sederhana, kami akan menggunakan pendekatan non-ilmiah namun dapat dimengerti, dapat diakses bahkan oleh orang yang jauh dari matematika.

Pada contoh berikutnya kita akan memperluas determinannya di baris pertama.
Untuk ini kita memerlukan matriks tanda: . Sangat mudah untuk melihat bahwa tanda-tanda tersebut disusun dalam pola kotak-kotak.

Perhatian! Matriks tanda adalah penemuan saya sendiri. Konsep ini tidak ilmiah, tidak perlu digunakan dalam desain akhir tugas, hanya membantu Anda memahami algoritma penghitungan determinan.

Saya akan memberikan solusi lengkapnya terlebih dahulu. Kami mengambil determinan eksperimental kami lagi dan melakukan perhitungan:

Dan pertanyaan utamanya: BAGAIMANA mendapatkan ini dari determinan “tiga per tiga”:
?

Jadi, determinan “tiga per tiga” direduksi menjadi penyelesaian tiga determinan kecil, atau disebut juga, MINOROV. Saya sarankan untuk mengingat istilah tersebut, terutama karena mudah diingat: minor – kecil.

Setelah metode dekomposisi determinan dipilih di baris pertama, jelas bahwa segala sesuatu berputar di sekelilingnya:

Elemen biasanya dilihat dari kiri ke kanan (atau atas ke bawah jika kolom dipilih)

Ayo, pertama-tama kita berurusan dengan elemen pertama dari baris tersebut, yaitu dengan satu:

1) Dari matriks tanda kita tuliskan tanda yang bersesuaian:

2) Kemudian kita menulis elemen itu sendiri:

3) SECARA MENTAL coret baris dan kolom tempat elemen pertama muncul:

Empat bilangan sisanya membentuk determinan “dua per dua”, yang disebut MINOR suatu unsur (satuan) tertentu.

Mari beralih ke elemen kedua dari baris tersebut.

4) Dari matriks tanda kita tuliskan tanda yang bersesuaian:

5) Kemudian tulis elemen kedua:

6) SECARA MENTAL coret baris dan kolom tempat elemen kedua muncul:

Nah, elemen ketiga dari baris pertama. Tidak ada orisinalitas:

7) Dari matriks tanda kita tuliskan tanda yang bersesuaian:

8) Tuliskan unsur ketiga:

9) SECARA MENTAL coretlah baris dan kolom yang mengandung unsur ketiga:

Empat bilangan sisanya kita tuliskan dalam determinan kecil.

Tindakan selanjutnya tidak menimbulkan kesulitan apa pun, karena kita sudah mengetahui cara menghitung determinan dua-dua. JANGAN BINGUNG DALAM TANDA-TANDANYA!

Demikian pula, determinan dapat diperluas ke baris mana pun atau ke kolom mana pun. Tentu saja, dalam keenam kasus tersebut, jawabannya sama.

Penentu empat kali empat dapat dihitung menggunakan algoritma yang sama.
Dalam hal ini, matriks tanda kita akan bertambah:

Dalam contoh berikut saya telah memperluas determinannya menurut kolom keempat:

Bagaimana hal itu terjadi, cobalah mencari tahu sendiri. Informasi lebih lanjut akan datang nanti. Jika ada yang ingin menyelesaikan determinan sampai habis, jawaban yang benar adalah: 18. Untuk latihan, lebih baik menyelesaikan determinan dengan kolom atau baris lain.

Berlatih, mengungkap, melakukan perhitungan sangatlah baik dan bermanfaat. Tapi berapa banyak waktu yang akan Anda habiskan di kualifikasi besar? Bukankah ada cara yang lebih cepat dan lebih dapat diandalkan? Saya sarankan Anda membiasakan diri dengan metode efektif untuk menghitung determinan di pelajaran kedua - Sifat-sifat determinan. Mengurangi urutan determinan.

HATI-HATI!

Perhitungan determinan N urutan ke-:

Konsep determinan N urutan -th

Dengan menggunakan artikel tentang determinan ini, Anda pasti akan mempelajari cara menyelesaikan masalah seperti berikut:

Selesaikan persamaan:

dan masih banyak lagi yang disukai para guru.

Penentu suatu matriks, atau sekadar determinan, memegang peranan penting dalam menyelesaikan sistem persamaan linier. Secara umum, determinan diciptakan untuk tujuan ini. Karena sering juga disebut “determinan suatu matriks”, kami juga akan menyebutkan matriks di sini. Matriks adalah tabel persegi panjang yang terdiri dari angka-angka yang tidak dapat dipertukarkan. Matriks persegi adalah tabel yang jumlah baris dan kolomnya sama. Hanya matriks persegi yang mempunyai determinan.

Logika penulisan determinan mudah dipahami dengan menggunakan skema berikut. Mari kita ambil sistem dua persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui, yang Anda kenal dari sekolah:

Dalam determinan, koefisien yang tidak diketahui ditulis secara berurutan: pada baris pertama - dari persamaan pertama, pada baris kedua - dari persamaan kedua:

Misalnya jika diberikan sistem persamaan

maka determinan berikut dibentuk dari koefisien-koefisien yang tidak diketahui:

Jadi, mari kita diberikan sebuah meja persegi yang terdiri dari angka-angka yang disusun N garis (baris horizontal) dan masuk N kolom (baris vertikal). Dengan menggunakan angka-angka ini, menurut beberapa aturan yang akan kita pelajari di bawah ini, mereka menemukan nomor yang disebut penentu N-urutan ke-dan dilambangkan sebagai berikut:

(1)

Nomor-nomor itu dipanggil elemen determinan (1) (indeks pertama berarti nomor baris, yang kedua – nomor kolom di perpotongan tempat elemen berada; Saya = 1, 2, ..., N; J= 1, 2, ..., n). Urutan suatu determinan adalah jumlah baris dan kolomnya.

Garis lurus imajiner yang menghubungkan unsur-unsur determinan yang kedua indeksnya sama, yaitu. elemen

ditelepon diagonal utama, diagonal lainnya – samping.

Perhitungan determinan orde kedua dan ketiga

Mari kita tunjukkan bagaimana determinan dari tiga orde pertama dihitung.

Penentu orde pertama adalah elemen itu sendiri, yaitu.

Penentu orde kedua adalah bilangan yang diperoleh sebagai berikut:

, (2)

Hasil kali elemen-elemen yang terletak berturut-turut pada diagonal utama dan diagonal sekunder.

Persamaan (2) menunjukkan bahwa hasil kali elemen-elemen diagonal utama diambil dengan tandanya sendiri, dan hasil kali elemen-elemen diagonal sekunder dengan tanda yang berlawanan .

Contoh 1. Hitung determinan orde kedua:

Larutan. Dengan menggunakan rumus (2) kita menemukan:

Penentu orde ketiga adalah bilangan yang diperoleh sebagai berikut:

(3)

Sulit untuk mengingat rumus ini. Namun, ada aturan sederhana yang disebut aturan segitiga , yang memudahkan untuk mereproduksi ekspresi (3). Dengan menyatakan unsur-unsur determinan dengan titik-titik, kita menghubungkan dengan segmen-segmen garis lurus yang menghasilkan produk dari unsur-unsur determinan (Gbr. 1).

Rumus (3) menunjukkan bahwa hasil kali elemen-elemen diagonal utama, serta elemen-elemen yang terletak pada titik sudut dua segitiga yang alasnya sejajar, diambil beserta tandanya; dengan yang berlawanan - produk dari elemen-elemen sisi diagonal, serta elemen-elemen yang terletak di titik sudut dua segitiga yang sejajar dengannya .

Pada Gambar 1, diagonal utama dan alas segitiga yang bersesuaian serta diagonal sekunder dan alas segitiga yang bersesuaian disorot dengan warna merah.

Saat menghitung determinan, sangat penting, seperti di sekolah menengah, untuk mengingat bahwa bilangan bertanda minus dikalikan bilangan bertanda minus menghasilkan bilangan bertanda plus, dan bilangan bertanda plus dikalikan a hasil bilangan bertanda minus menghasilkan bilangan bertanda minus.

Contoh 2. Hitung determinan orde ketiga:

Larutan. Dengan menggunakan aturan segitiga, kita peroleh

Perhitungan determinan N urutan -th

Memperluas determinan berdasarkan baris atau kolom

Untuk menghitung determinannya N-urutan, Anda perlu mengetahui dan menggunakan teorema berikut.

teorema Laplace. Penentunya sama dengan jumlah hasil kali elemen-elemen suatu deret dan komplemen aljabarnya, yaitu.

Definisi. Jika di determinan N memesan - pilih secara sewenang-wenang P garis dan P kolom ( P < N), maka elemen-elemen yang terletak pada perpotongan baris dan kolom tersebut membentuk matriks orde.

Penentu matriks ini disebut minor determinan aslinya. Misalnya, perhatikan determinannya:

Mari kita buat matriks dari baris dan kolom dengan bilangan genap:

Penentu

ditelepon minor penentu Kami mendapat minor dari urutan kedua. Jelas bahwa dari sini kita dapat membangun berbagai minor orde pertama, kedua dan ketiga.

Jika kita mengambil sebuah elemen dan mencoret baris dan kolom pada determinan di perpotongan elemen tersebut, kita mendapatkan minor yang disebut elemen minor, yang dilambangkan dengan:

Jika minor dikalikan dengan , dimana 3 + 2 adalah jumlah bilangan baris dan kolom yang perpotongannya terdapat elemen, maka hasil perkaliannya disebut komplemen aljabar elemen dan dilambangkan dengan

Secara umum, kami akan menunjukkan minor suatu elemen, dan komplemen aljabar,

(4)

Misalnya, mari kita hitung komplemen aljabar unsur-unsur dan determinan orde ketiga:

Dengan menggunakan rumus (4) kita peroleh

Saat menguraikan suatu determinan, sifat determinan berikut sering digunakan N urutan ke-:

Jika elemen-elemen suatu baris atau kolom dijumlahkan hasil kali elemen-elemen yang bersesuaian pada baris atau kolom lain dengan faktor konstan, maka nilai determinannya tidak akan berubah.

Contoh 4.

Pertama, kurangi elemen baris keempat dari baris pertama dan ketiga, maka kita akan mendapatkan

Kolom keempat dari determinan yang dihasilkan berisi tiga elemen – nol. Oleh karena itu, lebih menguntungkan untuk memperluas determinan ini ke dalam elemen kolom keempat, karena tiga produk pertama akan menjadi nol. Itu sebabnya

Anda dapat memeriksa solusinya menggunakan kalkulator determinan online .

Dan contoh berikut menunjukkan bagaimana penghitungan determinan sembarang (dalam hal ini, orde keempat) dapat direduksi menjadi penghitungan determinan orde kedua.

Contoh 5. Hitung determinannya:

Mari kita kurangi elemen baris pertama dari baris ketiga, dan tambahkan elemen baris pertama ke elemen baris keempat, maka kita akan mendapatkan

Di kolom pertama, semua elemen kecuali yang pertama adalah nol. Artinya, determinan sudah dapat diperluas pada kolom pertama. Namun kami sebenarnya tidak ingin menghitung determinan orde ketiga. Oleh karena itu, kita akan melakukan beberapa transformasi lagi: pada elemen baris ketiga kita akan menambahkan elemen baris kedua, dikalikan 2, dan dari elemen baris keempat kita akan mengurangi elemen baris kedua. Hasilnya, determinan yang merupakan komplemen aljabar dapat diperluas dengan sendirinya sepanjang kolom pertama dan kita hanya perlu menghitung determinan orde kedua dan tidak bingung dengan tandanya:

Mengurangi determinan menjadi bentuk segitiga

Penentu yang semua elemen yang terletak pada salah satu sisi salah satu diagonalnya sama dengan nol disebut segitiga. Dengan membalik urutan baris atau kolom, kasus diagonal sekunder direduksi menjadi kasus diagonal utama. Penentu ini sama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal utama.

Untuk mereduksi menjadi bentuk segitiga, digunakan sifat determinan yang sama N-urutan yang kita terapkan pada paragraf sebelumnya: jika hasil kali elemen-elemen yang bersesuaian pada baris atau kolom lain dengan faktor konstanta ditambahkan ke elemen-elemen suatu baris atau kolom, maka nilai determinannya tidak akan berubah.

Anda dapat memeriksa solusinya menggunakan kalkulator determinan online .

Sifat-sifat determinan N urutan -th

Pada dua paragraf sebelumnya kita telah menggunakan salah satu sifat determinan N urutan -th. Dalam beberapa kasus, untuk menyederhanakan perhitungan determinan, Anda dapat menggunakan sifat-sifat penting lainnya dari determinan. Misalnya, seseorang dapat mereduksi suatu determinan menjadi jumlah dari dua determinan, salah satu atau keduanya dapat dengan mudah diperluas dalam beberapa baris atau kolom. Ada banyak kasus penyederhanaan seperti itu, dan pertanyaan tentang penggunaan satu atau beberapa properti determinan harus diputuskan secara individual.

Seringkali di universitas kita menemukan masalah dalam matematika tingkat tinggi yang memerlukannya menghitung determinan suatu matriks. Ngomong-ngomong, determinannya hanya bisa dalam matriks persegi. Di bawah ini kita akan membahas definisi dasar, sifat-sifat apa saja yang dimiliki determinan dan cara menghitungnya dengan benar.Kami juga akan menunjukkan solusi detailnya menggunakan contoh.

Apa yang dimaksud dengan determinan suatu matriks: menghitung determinan menggunakan definisi

Penentu matriks

Urutan kedua adalah angka.

Penentu suatu matriks dilambangkan dengan – (kependekan dari nama latin determinan), atau .

Jika :, maka ternyata

Mari kita mengingat kembali beberapa definisi tambahan:

Definisi

Himpunan bilangan terurut yang terdiri dari unsur-unsur disebut permutasi keteraturan.

Untuk himpunan yang memuat unsur-unsur terdapat faktorial (n) yang selalu dilambangkan dengan tanda seru: . Permutasinya berbeda satu sama lain hanya dalam urutan kemunculannya. Agar lebih jelas, mari kita beri contoh:

Pertimbangkan himpunan tiga elemen (3, 6, 7). Total ada 6 permutasi, karena .:

Definisi

Inversi dalam permutasi keteraturan adalah himpunan bilangan terurut (disebut juga bijeksi), yang dua di antaranya membentuk semacam ketidakteraturan. Hal ini terjadi ketika bilangan yang lebih besar pada suatu permutasi tertentu terletak di sebelah kiri bilangan yang lebih kecil.

Di atas kita melihat contoh inversi permutasi, di mana terdapat angka. Jadi, mari kita ambil baris kedua, yang dilihat dari angka-angka ini ternyata , a , karena elemen kedua lebih besar dari elemen ketiga. Sebagai perbandingan, mari kita ambil baris keenam, di mana angka-angkanya berada: . Ada tiga pasangan di sini: , dan , karena title="Rendered oleh QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , так как title="Dirender oleh QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , – title="Dirender oleh QuickLaTeX.com" height="12" width="43" style="vertical-align: 0px;">.!}

Kami tidak akan mempelajari inversi itu sendiri, tetapi permutasi akan sangat berguna bagi kami dalam pembahasan topik lebih lanjut.

Definisi

Penentu matriks x – bilangan:

adalah permutasi bilangan dari 1 ke bilangan tak terhingga, dan merupakan banyaknya inversi pada permutasi tersebut. Dengan demikian, determinan mencakup suku-suku yang disebut “suku-suku determinan”.

Anda dapat menghitung determinan matriks orde kedua, ketiga, dan bahkan keempat. Juga layak disebutkan:

Definisi

Penentu suatu matriks adalah bilangan yang sama

Untuk memahami rumus ini, mari kita uraikan lebih detail. Penentu matriks persegi x adalah penjumlahan yang mengandung suku-suku, dan setiap suku merupakan hasil kali sejumlah elemen matriks. Selain itu, dalam setiap hasil kali terdapat elemen dari setiap baris dan setiap kolom matriks.

Dapat muncul sebelum suku tertentu jika elemen-elemen matriks pada hasil kali berurutan (menurut nomor baris), dan banyaknya inversi pada permutasi banyak bilangan kolom adalah ganjil.

Telah disebutkan di atas bahwa determinan suatu matriks dilambangkan dengan atau, yaitu determinan sering disebut determinan.

Jadi, mari kembali ke rumus:

Dari rumus tersebut jelas bahwa determinan matriks orde pertama adalah salah satu elemen matriks yang sama.

Perhitungan determinan matriks orde kedua

Paling sering dalam praktiknya, determinan suatu matriks diselesaikan dengan menggunakan metode orde kedua, ketiga, dan lebih jarang, orde keempat. Mari kita lihat cara menghitung determinan matriks orde kedua:

Pada matriks orde kedua, faktorialnya adalah . Sebelum Anda menerapkan rumusnya

Penting untuk menentukan data apa yang kami peroleh:

2. permutasi himpunan: dan ;

3. jumlah inversi dalam permutasi : dan , karena title="Rendered oleh QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">;!}

4. karya yang bersangkutan: dan.

Ternyata:

Berdasarkan uraian di atas, diperoleh rumus untuk menghitung determinan matriks persegi orde dua, yaitu x:

Mari kita lihat contoh spesifik cara menghitung determinan matriks persegi orde dua:

Contoh

Tugas

Hitung determinan matriks x:

Larutan

Jadi, kita mendapatkan , , , .

Untuk menyelesaikannya, Anda perlu menggunakan rumus yang telah dibahas sebelumnya:

Kami mengganti angka-angka dari contoh dan menemukan:

Menjawab

Penentu matriks orde dua = .

Perhitungan determinan matriks orde ketiga: contoh dan penyelesaian menggunakan rumus

Definisi

Penentu matriks orde ketiga adalah bilangan yang diperoleh dari sembilan bilangan tertentu yang disusun dalam tabel persegi,

Penentu orde ketiga ditemukan dengan cara yang hampir sama dengan determinan orde kedua. Perbedaannya hanya pada rumusnya saja. Oleh karena itu, jika Anda memahami rumusnya dengan baik, maka tidak akan ada masalah dalam penyelesaiannya.

Perhatikan matriks persegi orde ketiga *:

Berdasarkan matriks ini, kita memahami bahwa faktorial = , yang berarti permutasi totalnya adalah

Untuk menerapkan rumus dengan benar, Anda perlu mencari data:

Jadi, permutasi total himpunan tersebut adalah:

Banyaknya inversi pada permutasi tersebut adalah , dan hasil perkaliannya = ;

Jumlah inversi dalam permutasi title="Rendered oleh QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведения = ;!}

Inversi dalam permutasi title="Rendered oleh QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;"> ;!}

. ; inversi dalam permutasi title="Rendered oleh QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}

. ; inversi dalam permutasi title="Rendered oleh QuickLaTeX.com" height="18" width="171" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = .!}

Sekarang kita mendapatkan:

Jadi, kita mempunyai rumus untuk menghitung determinan matriks berorde x:

Mencari matriks orde ketiga menggunakan aturan segitiga (aturan Sarrus)

Sebagaimana disebutkan di atas, unsur-unsur determinan orde 3 terletak pada tiga baris dan tiga kolom. Jika Anda memasukkan sebutan elemen umum, maka elemen pertama menunjukkan nomor baris, dan elemen kedua dari indeks menunjukkan nomor kolom. Ada diagonal utama (elemen) dan sekunder (elemen) dari determinan. Suku-suku di sebelah kanan disebut suku-suku determinan).

Terlihat bahwa setiap suku determinan ada pada diagram dengan hanya satu elemen pada setiap baris dan setiap kolom.

Anda dapat menghitung determinannya dengan menggunakan aturan persegi panjang yang digambarkan dalam bentuk diagram. Suku-suku determinan dari unsur-unsur diagonal utama diberi tanda warna merah, begitu pula suku-suku dari unsur-unsur yang berada pada titik sudut segitiga yang salah satu sisinya sejajar dengan diagonal utama (diagram kiri), diambil dengan tanda .

Suku-suku yang bertanda panah biru dari unsur-unsur sisi diagonalnya, serta dari unsur-unsur yang berada pada titik-titik sudut segitiga yang sisi-sisinya sejajar dengan sisi diagonalnya (diagram kanan), diambil dengan tanda.

Dengan menggunakan contoh berikut, kita akan mempelajari cara menghitung determinan matriks persegi orde ketiga.

Contoh

Tugas

Hitung determinan matriks orde ketiga:

Larutan

Dalam contoh ini:

Kami menghitung determinan menggunakan rumus atau skema yang dibahas di atas:

Menjawab

Penentu matriks orde ketiga =

Sifat dasar determinan matriks orde ketiga

Berdasarkan definisi dan rumus sebelumnya, mari kita perhatikan hal utama sifat-sifat determinan matriks.

1. Besar kecilnya determinan tidak akan berubah ketika baris dan kolom yang bersesuaian diganti (penggantian ini disebut transposisi).

Dengan menggunakan contoh, kita akan memastikan bahwa determinan matriks sama dengan determinan matriks yang ditransposisikan:

Mari kita ingat kembali rumus menghitung determinan:

Ubah urutan matriks:

Kami menghitung determinan matriks yang ditransposisikan:

Kami telah memverifikasi bahwa determinan matriks yang diangkut sama dengan matriks asli, yang menunjukkan solusi yang benar.

2. Tanda determinan akan berubah menjadi sebaliknya jika ada dua kolom atau dua barisnya yang ditukar.

Mari kita lihat sebuah contoh:

Diberikan dua matriks orde ketiga (x):

Perlu ditunjukkan bahwa determinan matriks-matriks ini berlawanan.

Larutan

Baris-baris dalam matriks dan dalam matriks telah berubah (yang ketiga dari yang pertama, dan dari yang pertama ke yang ketiga). Menurut sifat kedua, determinan dua matriks harus berbeda tandanya. Artinya, matriks yang satu bertanda positif dan matriks yang kedua bertanda negatif. Mari kita periksa properti ini dengan menggunakan rumus untuk menghitung determinannya.

Sifat tersebut benar karena .

3. Suatu determinan sama dengan nol jika mempunyai unsur-unsur yang bersesuaian yang sama pada dua baris (kolom). Biarkan determinan memiliki elemen identik pada kolom pertama dan kedua:

Dengan menukar kolom yang identik, menurut Properti 2, kita memperoleh determinan baru: = . Sebaliknya, determinan baru sama dengan determinan awal, karena unsur-unsurnya mempunyai jawaban yang sama, yaitu = . Dari persamaan ini kita peroleh: = .

4. Penentunya sama dengan nol jika semua elemen pada satu baris (kolom) adalah nol. Pernyataan ini muncul dari kenyataan bahwa setiap suku determinan menurut rumus (1) mempunyai satu, dan hanya satu elemen dari setiap baris (kolom), yang hanya mempunyai nol.

Mari kita lihat sebuah contoh:

Mari kita tunjukkan bahwa determinan matriks sama dengan nol:

Matriks kita memiliki dua kolom yang identik (kedua dan ketiga), oleh karena itu, berdasarkan sifat ini, determinannya harus sama dengan nol. Mari kita periksa:

Memang determinan matriks dengan dua kolom identik sama dengan nol.

5. Faktor persekutuan unsur-unsur baris (kolom) pertama dapat dikeluarkan dari tanda determinan:

6. Jika unsur-unsur suatu baris atau satu kolom suatu determinan sebanding dengan unsur-unsur yang bersesuaian pada baris (kolom) kedua, maka determinan tersebut sama dengan nol.

Memang, mengikuti sifat 5, koefisien proporsionalitas dapat dikeluarkan dari tanda determinan, dan kemudian sifat 3 dapat digunakan.

7. Jika masing-masing elemen baris (kolom) determinan merupakan jumlah dari dua suku, maka determinan ini dapat dinyatakan sebagai jumlah dari determinan yang bersesuaian:

Untuk memeriksanya cukup dengan menuliskan dalam bentuk yang diperluas sesuai dengan (1) determinan yang ada di ruas kiri persamaan, kemudian mengelompokkan secara terpisah suku-suku yang mengandung unsur-unsur tersebut dan .Masing-masing kelompok suku yang dihasilkan akan menjadi, masing-masing , determinan pertama dan kedua di sisi kanan persamaan.

8. Nilai definisi tidak akan berubah jika elemen yang bersesuaian pada baris (kolom) kedua ditambahkan ke elemen satu baris atau kolom, dikalikan dengan angka yang sama:

Persamaan ini diperoleh berdasarkan sifat 6 dan 7.

9. Penentu matriks, , sama dengan jumlah hasil kali elemen-elemen suatu baris atau kolom dan komplemen aljabarnya.

Di sini yang dimaksud dengan komplemen aljabar suatu elemen matriks. Dengan menggunakan properti ini, Anda tidak hanya dapat menghitung matriks orde ketiga, tetapi juga matriks dengan orde lebih tinggi (x atau x). Dengan kata lain, ini adalah rumus berulang yang diperlukan untuk menghitung determinan matriks orde apa pun. . Ingatlah ini, karena sering digunakan dalam praktik.

Patut dikatakan bahwa dengan menggunakan properti kesembilan dimungkinkan untuk menghitung determinan matriks tidak hanya dari orde keempat, tetapi juga dari orde yang lebih tinggi. Namun, dalam hal ini Anda perlu melakukan banyak operasi komputasi dan berhati-hati, karena kesalahan sekecil apa pun pada tanda akan menyebabkan keputusan yang salah. Cara paling mudah untuk menyelesaikan matriks orde tinggi adalah dengan menggunakan metode Gaussian, dan kita akan membicarakannya nanti.

10. Penentu hasil kali matriks-matriks berorde sama sama dengan hasil kali determinannya.

Mari kita lihat sebuah contoh:

Contoh

Tugas

Pastikan determinan dua matriks dan sama dengan hasil kali determinannya. Dua matriks diberikan:

Larutan

Pertama, kita cari hasil kali determinan dua matriks dan .

Sekarang mari kita kalikan kedua matriks dan hitung determinannya:

Menjawab

Kami memastikan itu