행렬을 요소로 분해합니다. 행렬식. 행렬식에 대한 공식

정의1. 7. 미성년자행렬식의 요소는 주어진 요소에서 선택된 요소가 나타나는 행과 열을 지워서 얻은 행렬식입니다.

지정: 결정자의 선택된 요소, 해당 미성년자.

예. 을 위한

정의1. 8. 대수적 보완행렬식의 요소는 이 요소 i+j의 인덱스 합이 짝수이면 마이너라고 하고, i+j가 홀수이면 마이너의 반대 숫자라고 합니다.

3차 행렬식을 계산하는 또 다른 방법인 행 또는 열 확장을 고려해 보겠습니다. 이를 위해 우리는 다음 정리를 증명합니다.

정리 1.1. 행렬식은 행이나 열의 요소와 대수적 보수의 곱의 합과 같습니다.

여기서 i=1,2,3입니다.

증거.

다른 행이나 열에 대해서도 유사한 추론을 수행하고 동일한 결과를 얻을 수 있으므로 행렬식의 첫 번째 행에 대한 정리를 증명해 보겠습니다.

첫 번째 행의 요소에 대한 대수적 보완을 찾아 보겠습니다.

따라서 행렬식을 계산하려면 행이나 열의 요소에 대한 대수적 보완을 찾고 행렬식의 해당 요소로 곱의 합을 계산하는 것으로 충분합니다.

예. 첫 번째 열의 전개를 사용하여 행렬식을 계산해 보겠습니다. 이 경우 검색할 필요가 없습니다. 결과적으로 우리는 찾아서 따라서,

더 높은 차수의 결정 요인.

정의1. 9. n차 행렬식

합계 n이 있습니다! 회원 각각은 n! 세트 1,2,...,n의 요소를 r개 쌍으로 순열하여 얻은 순서 세트입니다.

비고 1. 3차 행렬식의 속성은 n차 행렬식에도 유효합니다.

참고 2. 실제로 고차 행렬식은 행 또는 열 확장을 사용하여 계산됩니다. 이를 통해 계산된 행렬식의 차수를 낮추고 궁극적으로 3차 행렬식을 찾는 문제를 줄일 수 있습니다.

예. 4차 행렬식을 계산해보자 두 번째 열을 따라 확장을 사용합니다. 이를 위해 우리는 다음을 찾을 것입니다:

따라서,

라플라스의 정리- 선형 대수학의 정리 중 하나입니다. 이 정리는 1772년에 이 정리를 공식화한 것으로 알려진 프랑스 수학자 피에르 시몽 라플라스(1749 - 1827)의 이름을 따서 명명되었습니다. 행(열)의 행렬식 분해에 대한 이 정리의 특별한 경우가 라이프니츠에게 알려졌습니다. .

글레이즈미성년자는 다음과 같이 정의됩니다.

다음 진술은 사실입니다.

라플라스 정리에서 합을 구하는 마이너의 수는 에서 열을 선택하는 방법의 수, 즉 이항계수와 같습니다.

행렬의 행과 열은 행렬식의 속성과 동일하므로 행렬의 열에 대해 라플라스의 정리를 공식화할 수 있습니다.

행(열)의 행렬식 확장(결과 1)

널리 알려진 라플라스 정리의 특별한 경우는 행렬식을 행이나 열로 확장하는 것입니다. 이를 통해 정사각 행렬의 행렬식을 행이나 열의 요소와 대수적 보수의 곱의 합으로 표현할 수 있습니다.

크기가 의 정사각 행렬이라고 하자. 또한 행렬의 행 번호나 열 번호를 지정해 보겠습니다. 그런 다음 행렬식은 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

추가 속성은 소수 및 대수 보수의 개념과 관련됩니다.

미성년자요소를 행렬식이라고 하며, 이 요소가 위치한 교차점에서 행과 열을 지운 후 남은 요소로 구성됩니다. 순서 결정자의 보조 요소에는 순서가 있습니다. 으로 표시하겠습니다.

예시 1.허락하다 , 그 다음에 .

이 부전공은 A에서 두 번째 행과 세 번째 열을 지워서 얻습니다.

대수적 보완요소는 해당 마이너를 곱한 것으로 불립니다. 즉 , 어디에 이 요소가 위치하는 교차점의 행과 열의 번호입니다.

Ⅷ.(결정자를 특정 문자열의 요소로 분해). 행렬식은 특정 행의 요소와 해당 대수적 보수의 곱의 합과 같습니다.

예시 2.허락하다 , 그 다음에

예시 3.행렬식을 구해보자 , 첫 번째 행의 요소로 분해됩니다.

공식적으로, 이 정리와 행렬식의 다른 속성은 다른 행렬식을 고려하지 않았기 때문에 3차 이하의 행렬 행렬식에만 적용 가능합니다. 다음 정의를 사용하면 이러한 속성을 모든 순서의 결정자로 확장할 수 있습니다.

행렬의 행렬식 주문하다는 전개정리와 행렬식의 다른 성질을 순차적으로 적용하여 계산한 수이다.

위의 속성이 적용되는 순서, 행과 열의 순서에 따라 계산 결과가 달라지지 않는 것을 확인할 수 있습니다. 이 정의를 사용하여 행렬식이 고유하게 발견됩니다.

이 정의에는 행렬식을 찾기 위한 명시적인 공식이 포함되어 있지 않지만 행렬식을 더 낮은 차수 행렬의 행렬식으로 줄여서 찾을 수 있습니다. 이러한 정의를 재발.

예시 4.행렬식을 계산합니다.

인수분해 정리는 주어진 행렬의 모든 행이나 열에 적용될 수 있지만 가능한 한 많은 0이 포함된 열을 따라 인수분해하면 계산 횟수가 줄어듭니다.

행렬에는 0개의 요소가 없으므로 다음 속성을 사용하여 요소를 얻습니다. Ⅶ. 첫 번째 줄에 숫자를 순차적으로 곱합니다. 그것을 라인에 추가하고 다음을 얻으십시오 :

첫 번째 열을 따라 결과 행렬식을 확장하고 다음을 얻습니다.

행렬식에는 두 개의 비례 열이 포함되어 있기 때문입니다.

일부 유형의 행렬과 행렬식

주대각선() 아래 또는 위에 요소가 0개인 정사각 행렬을 호출합니다. 삼각형.

따라서 그들의 도식적 구조는 다음과 같습니다: 또는

고등 수학 문제를 풀 때 다음과 같은 요구 사항이 자주 발생합니다. 행렬의 행렬식을 계산하다. 행렬의 행렬식은 선형 대수학, 분석 기하학, 수학적 분석 및 기타 고등 수학 분야에 나타납니다. 따라서 행렬식을 해결하는 기술 없이는 불가능합니다. 또한 자체 테스트를 위해 행렬식 계산기를 무료로 다운로드할 수 있습니다. 행렬식을 푸는 방법을 직접 알려주지는 않지만, 정답을 미리 아는 것이 항상 유익하기 때문에 매우 편리합니다!

나는 행렬식에 대한 엄격한 수학적 정의를 제공하지 않을 것이며 일반적으로 수학적 용어를 최소화하려고 노력할 것입니다. 이것이 대부분의 독자에게 더 쉬운 것은 아닙니다. 이 글의 목적은 2차, 3차, 4차 행렬식을 푸는 방법을 가르치는 것입니다. 모든 자료는 간단하고 접근 가능한 형태로 제공되며, 자료를 주의 깊게 연구한 후에는 고등 수학의 가득 찬(빈) 찻주전자라도 행렬식을 올바르게 풀 수 있습니다.

실제로 다음과 같은 2차 행렬식과 다음과 같은 3차 행렬식을 가장 자주 찾을 수 있습니다. .

4차 행렬식 그것은 또한 골동품이 아니므로 수업이 끝날 때 다루겠습니다.

모두가 다음 사항을 이해하기를 바랍니다.행렬식 내부의 숫자는 그 자체로 존재하므로 빼기가 가능합니다! 숫자는 바꿀 수 없습니다!

(특히, 부호를 변경하여 행렬식의 행 또는 열을 쌍으로 재배열하는 것이 가능하지만 종종 이것이 필요하지 않습니다. 다음 단원인 행렬식의 속성 및 순서 낮추기 참조)

따라서 어떤 행렬식이 주어지면 우리는 그 안에 아무것도 건드리지 않습니다!

명칭: 행렬이 주어지면 , 그 행렬식이 표시됩니다. 또한 매우 자주 행렬식은 라틴 문자 또는 그리스어로 표시됩니다.

1)행렬식을 푸는 것(찾기, 드러내기)은 무엇을 의미합니까?행렬식을 계산한다는 것은 숫자를 찾는 것을 의미합니다. 위 예의 물음표는 완전히 일반적인 숫자입니다.

2) 이제 알아내는 것이 남아 있습니다 이 번호를 찾는 방법은 무엇입니까?이렇게 하려면 지금 설명할 특정 규칙, 공식 및 알고리즘을 적용해야 합니다.

행렬식 "two" by "two"부터 시작해 보겠습니다.:

적어도 대학에서 고등 수학을 공부하는 동안에는 이것을 기억해야 합니다.

바로 예를 살펴보겠습니다.

준비가 된. 가장 중요한 것은 표지판을 혼동하지 않는 것입니다.

3x3 행렬의 행렬식 8가지 방법으로 열 수 있으며 그 중 2가지 방법은 단순하고 6가지 방법은 일반 방법입니다.

두 가지 간단한 방법부터 시작해 보겠습니다.

2x2 행렬식과 마찬가지로 3x3 행렬식은 다음 공식을 사용하여 확장할 수 있습니다.

공식이 길고 부주의로 인해 실수하기 쉽습니다. 성가신 실수를 피하는 방법은 무엇입니까? 이를 위해 실제로 첫 번째 방법과 일치하는 행렬식을 계산하는 두 번째 방법이 발명되었습니다. 이를 Sarrus 방법 또는 "평행 스트립" 방법이라고 합니다.
결론은 행렬식의 오른쪽에 첫 번째와 두 번째 열을 할당하고 연필로 조심스럽게 선을 그리는 것입니다.

"빨간색" 대각선에 있는 승수는 "더하기" 기호와 함께 수식에 포함됩니다.
"파란색" 대각선에 있는 승수는 빼기 기호와 함께 수식에 포함됩니다.

예:

두 솔루션을 비교해보세요. 이것이 동일한 것임을 쉽게 알 수 있습니다. 두 번째 경우에는 공식 요소가 약간 재배치되었으며 가장 중요한 것은 실수할 가능성이 훨씬 적다는 것입니다.

이제 행렬식을 계산하는 6가지 일반적인 방법을 살펴보겠습니다.

왜 정상인가요? 대부분의 경우 한정자는 이런 방식으로 공개되어야 하기 때문입니다.

알다시피, 3x3 행렬식에는 3개의 열과 3개의 행이 있습니다.
행렬식을 열어서 풀 수 있습니다. 임의의 행 또는 임의의 열로.
따라서 6가지 방법이 있으며 모든 경우에 다음을 사용합니다. 같은 종류연산.

행렬의 행렬식은 해당 대수적 보수에 의한 행(열) 요소의 곱의 합과 같습니다. 무서운? 모든 것이 훨씬 더 간단해졌습니다. 우리는 수학과는 거리가 먼 사람이라도 접근할 수 있는 비과학적이지만 이해 가능한 접근 방식을 사용할 것입니다.

다음 예에서는 행렬식을 확장하겠습니다. 첫 번째 줄에.
이를 위해서는 부호 행렬이 필요합니다: . 간판이 바둑판 무늬로 배열되어 있다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

주목! 부호 행렬은 내 자신의 발명품입니다. 이 개념은 과학적이지 않으며 과제의 최종 설계에 사용될 필요가 없으며 단지 행렬식을 계산하는 알고리즘을 이해하는 데 도움이 됩니다.

먼저 완전한 해결책을 제시하겠습니다. 실험적 행렬식을 다시 취하고 계산을 수행합니다.

그리고 주요 질문: "3x3" 행렬식에서 이것을 얻는 방법은 다음과 같습니다.
?

따라서 "3x3" 행렬식은 세 개의 작은 행렬식을 해결하는 것으로 귀결됩니다. 또는 이를 다음과 같이 부르기도 합니다. 미노로프. 특히 기억에 남는 용어이기 때문에 이 용어를 기억하는 것이 좋습니다. 사소한 – 작은 것입니다.

행렬식의 분해 방법이 선택되면 첫 번째 줄에, 모든 것이 그녀를 중심으로 돌아가는 것이 분명합니다.

요소는 일반적으로 왼쪽에서 오른쪽으로(또는 열을 선택한 경우 위에서 아래로) 표시됩니다.

가자, 먼저 줄의 첫 번째 요소, 즉 다음 요소를 처리합니다.

1) 부호 매트릭스에서 해당 부호를 작성합니다.

2) 그런 다음 요소 자체를 작성합니다.

3) 첫 번째 요소가 나타나는 행과 열을 정신적으로 지웁니다.

나머지 4개의 숫자는 "2x2" 행렬식을 형성합니다. 미성년자특정 요소(단위)의

줄의 두 번째 요소로 넘어가겠습니다.

4) 부호 매트릭스에서 해당 부호를 작성합니다.

5) 그런 다음 두 번째 요소를 작성합니다.

6) 두 번째 요소가 나타나는 행과 열을 정신적으로 지웁니다.

첫 번째 줄의 세 번째 요소입니다. 독창성 없음:

7) 기호 매트릭스에서 해당 기호를 작성합니다.

8) 세 번째 요소를 적어보세요.

9) 세 번째 요소가 포함된 행과 열을 정신적으로 지웁니다.

나머지 4개의 숫자를 작은 행렬식에 씁니다.

나머지 동작은 2x2 행렬식을 계산하는 방법을 이미 알고 있으므로 아무런 어려움도 없습니다. 표지판을 혼동하지 마세요!

마찬가지로 행렬식은 모든 행이나 열로 확장될 수 있습니다.당연히 여섯 가지 경우 모두 대답은 동일합니다.

4x4 행렬식은 동일한 알고리즘을 사용하여 계산할 수 있습니다.
이 경우 부호 행렬은 다음과 같이 증가합니다.

다음 예에서는 행렬식을 확장했습니다. 네 번째 열에 따르면:

어떻게 된 일인지 스스로 알아내도록 노력하세요. 더 많은 정보는 나중에 나올 것입니다. 누구든지 행렬식을 끝까지 풀고 싶다면 정답은 18입니다. 연습으로는 다른 열이나 다른 행으로 행렬식을 푸는 것이 좋습니다.

연습하고, 발견하고, 계산하는 것은 매우 훌륭하고 유용합니다. 하지만 큰 예선에 얼마나 많은 시간을 할애할 것인가? 더 빠르고 안정적인 방법은 없을까요? 두 번째 단원인 행렬식의 속성에서 행렬식을 계산하는 효과적인 방법에 익숙해지는 것이 좋습니다. 행렬식의 차수를 줄입니다.

조심하세요!

행렬식 계산 N-번째 주문:

행렬식의 개념 N-번째 주문

행렬식에 대한 이 기사를 사용하면 다음과 같은 문제를 해결하는 방법을 확실히 배울 수 있습니다.

방정식을 푼다:

그리고 교사들이 생각해내기를 좋아하는 다른 많은 것들이 있습니다.

행렬식, 즉 행렬식은 선형 방정식 시스템을 푸는 데 중요한 역할을 합니다. 일반적으로 행렬식은 이러한 목적으로 고안되었습니다. 그들은 종종 "행렬의 행렬식"이라고 말하기 때문에 여기서도 행렬에 대해 언급하겠습니다. 행렬교환할 수 없는 숫자로 구성된 직사각형 테이블입니다. 정사각행렬은 행과 열의 개수가 동일한 표이다. 정사각 행렬만이 행렬식을 가질 수 있습니다..

다음 체계를 사용하면 행렬식 작성 논리를 쉽게 이해할 수 있습니다. 학교에서 익숙했던 두 개의 미지수가 있는 두 방정식의 시스템을 살펴보겠습니다.

행렬식에서 미지수에 대한 계수는 첫 번째 줄 - 첫 번째 방정식, 두 번째 줄 - 두 번째 방정식에서 순차적으로 작성됩니다.

예를 들어, 방정식 시스템이 주어지면

그러면 다음 행렬식은 미지수의 계수로 구성됩니다.

그럼, 다음과 같이 배열된 숫자로 구성된 정사각형 표가 주어집니다. N선(가로 행) 및 N열(수직 행). 우리가 아래에서 연구할 몇 가지 규칙에 따라 이 숫자를 사용하여 그들은 다음과 같은 숫자를 찾습니다. 결정자 N-번째 순서이며 다음과 같이 표시됩니다.

(1)

숫자가 불려요 강요행렬식 (1) (첫 번째 인덱스는 행 번호를 의미하고, 두 번째 인덱스는 요소가 교차하는 지점의 열 번호를 의미합니다. 나 = 1, 2, ..., N; 제이= 1, 2, ..., n). 행렬식의 순서는 행과 열의 수입니다.

두 지수가 동일한 행렬식 요소를 연결하는 가상의 직선, 즉 강요

~라고 불리는 주 대각선, 또 다른 대각선 – 옆.

2차 및 3차 결정 요인 계산

처음 세 차수의 행렬식을 계산하는 방법을 살펴보겠습니다.

1차 결정자는 요소 자체입니다.

2차 행렬식은 다음과 같이 구한 숫자입니다.

, (2)

주 대각선과 보조 대각선에 각각 위치한 요소의 곱입니다.

등식 (2)는 주 대각선 요소의 곱이 자체 기호로 취하고 보조 대각선 요소의 곱이 반대 기호로 표시됨을 보여줍니다. .

예시 1. 2차 행렬식을 계산합니다.

해결책. 공식 (2)를 사용하여 다음을 찾습니다.

3차 행렬식은 다음과 같이 구한 숫자입니다.

(3)

이 공식을 기억하는 것은 어렵습니다. 그러나 다음과 같은 간단한 규칙이 있습니다. 삼각형 법칙 , 식(3)을 쉽게 재현할 수 있습니다. 행렬식 요소를 점으로 표시하고 행렬식 요소의 곱을 제공하는 직선 세그먼트로 연결합니다 (그림 1).

공식 (3)은 주 대각선 요소의 곱과 밑변이 평행한 두 삼각형의 꼭지점에 있는 요소를 해당 부호로 가져옴을 보여줍니다. 반대쪽 - 측면 대각선 요소와 평행 한 두 삼각형의 꼭지점에 위치한 요소의 곱 .

그림 1에서는 주 대각선과 삼각형의 해당 밑변, 그리고 보조 대각선과 삼각형의 해당 밑변이 빨간색으로 강조 표시되어 있습니다.

행렬식을 계산할 때 고등학교에서와 같이 빼기 기호가 있는 숫자에 빼기 기호가 있는 숫자를 곱하면 더하기 기호가 있는 숫자가 되고, 더하기 기호가 있는 숫자에 a를 곱한다는 것을 기억하는 것이 매우 중요합니다. 마이너스 기호가 있는 숫자 결과는 마이너스 기호가 있는 숫자를 제공합니다.

예시 2. 3차 행렬식을 계산합니다.

해결책. 삼각형 법칙을 이용하면,

행렬식 계산 N-번째 주문

행이나 열로 행렬식 확장

행렬식을 계산하려면 N-차수에서는 다음 정리를 알고 사용해야 합니다.

라플라스의 정리.행렬식은 모든 행의 요소와 대수적 보수의 곱의 합과 같습니다.

정의. 행렬식에 있는 경우 N주문 - 임의로 선택 피라인과 피열( 피 < N), 이러한 행과 열의 교차점에 위치한 요소는 순서 행렬을 형성합니다.

이 행렬의 행렬식은 다음과 같습니다. 미성년자 원래 결정자. 예를 들어, 행렬식을 고려해보세요:

짝수가 있는 행과 열로 행렬을 만들어 보겠습니다.

결정자

~라고 불리는 미성년자결정자 우리는 두 번째 주문의 미성년자를 받았습니다. 이것으로부터 우리는 1차, 2차, 3차의 다양한 마이너를 구성할 수 있다는 것이 분명합니다.

요소를 취하고 그 요소가 교차하는 행렬식의 행과 열을 지으면 마이너 요소라는 마이너 요소가 생성됩니다. 이를 다음과 같이 표시합니다.

마이너에 를 곱하면(여기서 3 + 2는 요소가 있는 교차점의 행과 열 번호의 합임) 결과 제품이 호출됩니다. 대수적 보완요소는 다음과 같이 표시됩니다.

일반적으로 우리는 요소의 마이너와 대수적 보완을 나타냅니다.

(4)

예를 들어 요소와 3차 행렬식의 대수적 보수를 계산해 보겠습니다.

공식 (4)를 사용하면 다음과 같습니다.

행렬식을 분해할 때 행렬식의 다음과 같은 성질이 자주 사용됩니다. N-번째 주문:

행이나 열의 요소에 다른 행이나 열의 해당 요소의 곱을 상수 요소로 추가하면 행렬식의 값이 변경되지 않습니다.

예시 4.

먼저, 첫 번째와 세 번째 행에서 네 번째 행의 요소를 빼면 다음과 같습니다.

결과 행렬식의 네 번째 열에는 0이라는 세 가지 요소가 포함됩니다. 따라서 처음 세 개의 곱이 0이 되기 때문에 이 행렬식을 네 번째 열의 요소로 확장하는 것이 더 유리합니다. 그렇기 때문에

다음을 사용하여 솔루션을 확인할 수 있습니다. 온라인 행렬식 계산기 .

다음 예에서는 임의의(이 경우 4차) 행렬식의 계산이 2차 행렬식의 계산으로 어떻게 축소될 수 있는지 보여줍니다.

실시예 5.행렬식을 계산합니다.

세 번째 줄에서 첫 번째 줄의 요소를 빼고, 첫 번째 줄의 요소를 네 번째 줄의 요소에 더하면 다음과 같습니다.

첫 번째 열에서는 첫 번째 열을 제외한 모든 요소가 0입니다. 즉, 행렬식은 이미 첫 번째 열에 걸쳐 확장될 수 있습니다. 하지만 우리는 실제로 3차 행렬식을 계산하고 싶지 않습니다. 따라서 우리는 좀 더 변환을 할 것입니다. 세 번째 줄의 요소에 두 번째 줄의 요소를 추가하고 2를 곱하고 네 번째 줄의 요소에서 두 번째 줄의 요소를 뺍니다. 결과적으로, 대수적 보수인 행렬식은 첫 번째 열에서 자체적으로 확장될 수 있으며 우리는 2차 행렬식만 계산하면 되며 부호에서 혼동되지 않습니다.

행렬식을 삼각형 형태로 줄이기

대각선 중 한 변에 있는 모든 요소가 0인 행렬식을 삼각형이라고 합니다. 행이나 열의 순서를 반대로 하면 보조 대각선의 경우가 주 대각선의 경우로 줄어듭니다. 이 행렬식은 주대각선 요소의 곱과 같습니다.

삼각형 형태로 축소하려면 행렬식과 동일한 속성을 사용합니다. N-이전 단락에서 적용한 차수: 다른 행이나 열의 해당 요소와 상수 요소의 곱을 행이나 열의 요소에 추가하면 행렬식의 값이 변경되지 않습니다.

다음을 사용하여 솔루션을 확인할 수 있습니다. 온라인 행렬식 계산기 .

행렬식의 속성 N-번째 주문

이전 두 단락에서 우리는 이미 행렬식의 속성 중 하나를 사용했습니다. N-번째 주문. 어떤 경우에는 행렬식 계산을 단순화하기 위해 행렬식의 다른 중요한 속성을 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 행렬식을 두 개의 행렬식의 합으로 줄일 수 있으며, 둘 중 하나 또는 둘 다 일부 행이나 열에서 편리하게 확장될 수 있습니다. 이러한 단순화 사례가 많이 있으며 행렬식의 하나 또는 다른 속성을 사용하는 문제는 개별적으로 결정해야 합니다.

종종 대학에서 우리는 고등 수학에서 필요한 문제에 직면합니다. 행렬의 행렬식을 계산하다. 그런데 행렬식은 정사각형 행렬에만 있을 수 있습니다. 아래에서는 기본 정의, 행렬식의 속성 및 이를 올바르게 계산하는 방법을 고려하여 예제를 사용하여 자세한 솔루션도 보여 드리겠습니다.

행렬의 행렬식은 무엇입니까? 정의를 사용하여 행렬식 계산

행렬식

두 번째 순서는 숫자입니다.

행렬의 행렬식은 - (결정자의 라틴어 이름의 약자) 또는 로 표시됩니다.

만약:이라면, 그것은 밝혀졌습니다

몇 가지 보조 정의를 더 생각해 보겠습니다.

정의

요소로 구성된 순서가 지정된 숫자 집합을 순서 순열이라고 합니다.

요소를 포함하는 집합의 경우 항상 느낌표로 표시되는 계승(n)이 있습니다. 순열은 나타나는 순서만 서로 다릅니다. 더 명확하게 하기 위해 예를 들어보겠습니다.

세 가지 요소(3, 6, 7)의 집합을 생각해 보세요. 다음과 같이 총 6개의 순열이 있습니다.

정의

순서 순열의 반전은 순서가 지정된 숫자 집합(전단사라고도 함)이며, 그 중 두 개가 일종의 무질서를 형성합니다. 이는 주어진 순열에서 더 큰 숫자가 더 작은 숫자의 왼쪽에 위치하는 경우입니다.

위에서 우리는 숫자가 있는 순열의 반전을 사용한 예를 살펴보았습니다. 따라서 두 번째 줄을 살펴보겠습니다. 이 숫자로 판단하면 두 번째 요소가 세 번째 요소보다 크기 때문에 , a 가 됩니다. 비교를 위해 숫자가 있는 여섯 번째 줄을 살펴보겠습니다. 여기에는 세 쌍이 있습니다: , 및 , 왜냐하면 title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , так как title="QuickLaTeX.com에서 렌더링" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , – title="QuickLaTeX.com에서 렌더링" height="12" width="43" style="vertical-align: 0px;">.!}

우리는 반전 자체를 연구하지는 않을 것이지만, 주제를 더 고려할 때 순열은 우리에게 매우 유용할 것입니다.

정의

행렬 x의 행렬식 – 숫자:

는 1부터 무한수까지의 숫자 순열이며, 순열의 반전 횟수입니다. 따라서 행렬식에는 "행렬식의 항"이라고 불리는 항이 포함됩니다.

2차, 3차, 4차 행렬의 행렬식을 계산할 수 있습니다. 또한 언급할 가치가 있는 것:

정의

행렬의 행렬식은 다음과 같은 숫자입니다.

이 공식을 이해하기 위해 좀 더 자세히 설명하겠습니다. 정사각 행렬 x의 행렬식은 항을 포함하는 합이며, 각 항은 특정 개수의 행렬 요소의 곱입니다. 또한 각 제품에는 행렬의 각 행과 열의 요소가 있습니다.

곱의 행렬 요소가 행 번호순으로 정렬되어 있고 많은 열 번호 순열의 반전 횟수가 홀수인 경우 특정 항 앞에 나타날 수 있습니다.

행렬의 행렬식은 으로 표시되거나, 즉 행렬식을 종종 행렬식이라고 부른다고 위에서 언급했습니다.

이제 공식으로 돌아가 보겠습니다.

공식으로부터 1차 행렬의 행렬식은 동일한 행렬의 요소라는 것이 분명합니다.

2차 행렬의 행렬식 계산

실제로 대부분의 경우 행렬의 행렬식은 2차, 3차 및 덜 자주 4차 방법을 사용하여 해결됩니다. 2차 행렬의 행렬식이 어떻게 계산되는지 살펴보겠습니다.

2차 행렬에서 계승값은 입니다. 수식을 적용하기 전에

우리가 얻는 데이터를 결정하는 것이 필요합니다:

2. 집합의 순열: 및 ;

3. 순열의 반전 수 : 및 , title="Rendered by QuickLaTeX.com 이후)" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">;!}

4. 해당 저작물 : 과.

그것은 밝혀:

위의 내용을 바탕으로 2차 정사각 행렬의 행렬식, 즉 x를 계산하는 공식을 얻습니다.

2차 정사각 행렬의 행렬식을 계산하는 방법에 대한 구체적인 예를 살펴보겠습니다.

예

일

행렬 x의 행렬식을 계산합니다.

해결책

그래서 우리는 , , , 를 얻습니다.

문제를 해결하려면 이전에 설명한 공식을 사용해야 합니다.

예제의 숫자를 대체하고 다음을 찾습니다.

답변

2차 행렬 행렬식 = .

3차 행렬의 행렬식 계산: 공식을 사용한 예제 및 솔루션

정의

3차 행렬의 행렬식은 정사각형 표에 배열된 주어진 9개의 숫자로부터 얻은 숫자이고,

3차 행렬식은 2차 행렬식과 거의 같은 방식으로 구됩니다. 유일한 차이점은 공식에 있습니다. 따라서 공식을 잘 이해했다면 문제 풀이에는 문제가 없을 것입니다.

3차 정사각 행렬을 생각해 보세요 *:

이 행렬을 기반으로 우리는 계승 = 이라는 것을 이해합니다. 이는 총 순열이 다음과 같다는 것을 의미합니다.

공식을 올바르게 적용하려면 데이터를 찾아야 합니다.

따라서 집합의 전체 순열은 다음과 같습니다.

순열의 반전 수는 이고 해당 제품 = ;

순열 제목의 반전 수="QuickLaTeX.com에 의해 렌더링됨" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведения = ;!}

순열의 반전 title="QuickLaTeX.com에 의해 렌더링됨" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;"> ;!}

. ; 순열의 반전 title="QuickLaTeX.com에 의해 렌더링됨" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}

. ; 순열의 반전 title="QuickLaTeX.com에 의해 렌더링됨" height="18" width="171" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = .!}

이제 우리는 다음을 얻습니다:

따라서 x차 행렬의 행렬식을 계산하는 공식이 있습니다.

삼각형 규칙(Sarrus 규칙)을 사용하여 3차 행렬 찾기

위에서 언급한 것처럼 3차 행렬식의 요소는 3행 3열에 위치합니다. 일반 요소의 지정을 입력하면 첫 번째 요소는 행 번호를 나타내고 인덱스의 두 번째 요소는 열 번호를 나타냅니다. 행렬식의 주(요소) 및 보조(요소) 대각선이 있습니다. 우변의 항을 행렬식의 항이라고 합니다.)

행렬식의 각 항은 각 행과 각 열에 단 하나의 요소만 있는 다이어그램에 있음을 알 수 있습니다.

다이어그램 형태로 표시된 직사각형 규칙을 사용하여 행렬식을 계산할 수 있습니다. 주대각선 요소의 행렬식 항은 빨간색으로 강조 표시되며, 한쪽이 주대각선과 평행한 삼각형 꼭지점에 있는 요소의 항(왼쪽 다이어그램)은 기호로 표시됩니다. .

측면 대각선 요소와 측면 대각선에 평행한 측면을 갖는 삼각형 꼭지점에 있는 요소(오른쪽 다이어그램)에서 파란색 화살표가 있는 항은 기호와 함께 사용됩니다.

다음 예제를 사용하여 3차 정사각 행렬의 행렬식을 계산하는 방법을 알아봅니다.

예

일

3차 행렬의 행렬식을 계산합니다.

해결책

이 예에서는 다음과 같습니다.

위에서 설명한 공식이나 구성표를 사용하여 행렬식을 계산합니다.

답변

3차 행렬의 행렬식 =

3차 행렬 행렬식의 기본 속성

이전 정의와 공식을 바탕으로 주요 내용을 고려해 보겠습니다. 행렬 행렬식의 속성.

1. 해당 행과 열을 바꿀 때 행렬식의 크기는 변경되지 않습니다(이러한 대체를 전치라고 함).

예제를 사용하여 행렬의 행렬식이 전치된 행렬의 행렬식과 동일한지 확인합니다.

행렬식을 계산하는 공식을 기억해 보겠습니다.

행렬을 전치합니다.

전치행렬의 행렬식을 계산합니다:

전송된 행렬의 행렬식은 원래 행렬과 동일하며 이는 올바른 해를 나타냄을 확인했습니다.

2. 행렬식의 부호는 두 개의 열이나 두 개의 행이 바뀌면 반대 방향으로 변경됩니다.

예를 살펴보겠습니다:

두 개의 3차 행렬(x)이 주어지면:

이 행렬의 결정 요인이 반대라는 것을 보여줄 필요가 있습니다.

해결책

행렬과 행렬의 행이 변경되었습니다(첫 번째에서 세 번째, 첫 번째에서 세 번째로). 두 번째 속성에 따르면 두 행렬의 행렬식은 부호가 달라야 합니다. 즉, 한 행렬은 양수 부호를 갖고 두 번째 행렬은 음수 부호를 갖습니다. 행렬식을 계산하는 공식을 사용하여 이 속성을 확인해 보겠습니다.

속성은 true이므로 .

3. 두 행(열)에 동일한 해당 요소가 있는 경우 행렬식은 0과 같습니다. 행렬식이 첫 번째 열과 두 번째 열의 동일한 요소를 갖도록 합니다.

속성 2에 따라 동일한 열을 교환함으로써 새로운 행렬식 = 을 얻습니다. 반면에 요소의 답이 동일하므로 새 행렬식은 원래 행렬식과 일치합니다. 이러한 평등으로부터 우리는 다음을 얻습니다: = .

4. 한 행(열)의 모든 요소가 0인 경우 행렬식은 0과 같습니다. 이 진술은 공식 (1)에 따른 행렬식의 각 항이 1개를 가지며, 각 행(열)에서 0만 갖는 단 하나의 요소만 갖는다는 사실에서 나타납니다.

예를 살펴보겠습니다:

행렬의 행렬식은 0과 같다는 것을 보여드리겠습니다.

우리 행렬에는 두 개의 동일한 열(두 번째와 세 번째)이 있으므로 이 속성에 따라 행렬식은 0과 같아야 합니다. 점검 해보자:

실제로 두 개의 동일한 열이 있는 행렬의 행렬식은 0과 같습니다.

5. 첫 번째 행(열) 요소의 공통 인수는 행렬식 기호에서 가져올 수 있습니다.

6. 행렬식의 한 행 또는 열의 요소가 두 번째 행(열)의 해당 요소에 비례하는 경우 해당 행렬식은 0과 같습니다.

실제로 속성 5에 이어 행렬식의 부호에서 비례계수를 빼고 속성 3을 사용할 수 있다.

7. 행렬식의 행(열)의 각 요소가 두 항의 합인 경우 이 행렬식은 해당 행렬식의 합으로 표시될 수 있습니다.

확인하려면 (1) 등식의 왼쪽에 있는 행렬식에 따라 확장된 형식으로 작성한 다음 요소를 포함하는 용어를 별도로 그룹화하면 충분합니다. 결과적인 용어 그룹은 각각 입니다. , 평등의 오른쪽에 있는 첫 번째와 두 번째 행렬식입니다.

8. 두 번째 행(열)의 해당 요소가 한 행 또는 열의 요소에 추가되고 동일한 숫자를 곱하면 정의 값은 변경되지 않습니다.

이 동등성은 속성 6과 7을 기반으로 얻어집니다.

9. 행렬의 행렬식은 행이나 열의 요소와 해당 대수적 보수의 곱의 합과 같습니다.

여기서는 행렬 요소의 대수적 보수를 의미합니다. 이 속성을 사용하면 3차 행렬뿐만 아니라 더 높은 차수의 행렬(x 또는 x)도 계산할 수 있습니다. 즉, 이는 모든 차수의 행렬의 행렬식을 계산하는 데 필요한 반복 공식입니다. . 실제로 자주 사용되므로 기억해두세요.

9번째 속성을 사용하면 4차 행렬뿐만 아니라 더 높은 차수의 행렬 행렬식도 계산할 수 있습니다. 그러나 이 경우에는 많은 계산 작업을 수행해야 하며 기호에 약간의 오류가 있어도 잘못된 결정으로 이어질 수 있으므로 주의해야 합니다. 가우스 방법을 사용하여 고차 행렬을 푸는 것이 가장 편리하며 이에 대해서는 나중에 설명하겠습니다.

10. 동일한 차수의 행렬 곱의 행렬식은 해당 행렬식의 곱과 같습니다.

예를 살펴보겠습니다:

예

일

두 행렬의 행렬식과 행렬식의 곱이 같은지 확인하세요. 두 개의 행렬이 제공됩니다.

해결책

먼저, 두 행렬의 행렬식의 곱을 구합니다.

이제 두 행렬을 곱하여 행렬식을 계산해 보겠습니다.

답변

우리는 그것을 확인했습니다