세 번째 행의 행렬식을 확장합니다. 온라인 행렬식. 행렬에 대한 일반 정보입니다. 기본 정의

행렬식은 정사각 행렬에 대해서만 계산되며 n차 항의 합입니다. 이를 계산하기 위한 자세한 알고리즘은 기성 솔루션에 설명되어 있으며, 이 온라인 계산기에 조건을 입력한 후 즉시 받을 수 있습니다. 각 단계에 대한 자세한 설명과 함께 솔루션이 제시되므로 상세한 이론을 쉽게 얻을 수 있는 기회입니다.

이 계산기를 사용하는 방법은 간단합니다. 온라인에서 행렬식을 찾으려면 먼저 행렬의 크기를 결정하고 열 수와 그에 따른 행 수를 선택해야 합니다. 이렇게 하려면 "+" 또는 "-" 아이콘을 클릭하세요. 남은 것은 필요한 숫자를 입력하고 "계산"을 클릭하는 것입니다. 정수와 분수를 모두 입력할 수 있습니다. 계산기는 필요한 모든 작업을 수행하고 최종 결과를 제공합니다.

수학 전문가가 되려면 많은 연습과 꾸준한 연습이 필요합니다. 그리고 자신을 다시 한 번 확인해 보는 것도 나쁘지 않습니다. 따라서 행렬의 행렬식을 계산하는 작업이 주어지면 온라인 계산기를 사용하는 것이 좋습니다. 그는 매우 빠르게 대처할 것이며 몇 초 안에 기성 솔루션이 모니터에 나타날 것입니다. 이는 온라인 계산기가 기존 계산을 대체해야 한다는 의미는 아닙니다. 그러나 행렬의 행렬식을 계산하는 알고리즘을 이해하는 데 관심이 있다면 이는 큰 도움이 됩니다. 또한 이는 테스트가 올바르게 완료되었는지 확인하고 평가 실패를 방지할 수 있는 좋은 기회입니다.

행렬식

행렬의 행렬식을 찾는 것은 고등 수학과 대수학에서 매우 일반적인 문제입니다. 일반적으로 복잡한 방정식 시스템을 풀 때 행렬 행렬식의 값 없이는 할 수 없습니다. 연립방정식을 풀기 위한 Cramer 방법은 행렬식 계산을 기반으로 합니다. 행렬식의 정의를 사용하여 방정식 시스템에 대한 해의 존재 여부와 고유성이 결정됩니다. 그러므로 수학에서 행렬식을 올바르고 정확하게 찾는 능력의 중요성은 아무리 강조해도 지나치지 않습니다. 행렬식을 푸는 방법은 이론적으로는 매우 간단하지만, 행렬의 크기가 커지면 계산이 매우 번거로워지고 세심한 주의와 많은 시간이 필요합니다. 이처럼 복잡한 수학적 계산에서는 사소한 실수나 오타가 발생하기가 매우 쉬우며, 이로 인해 최종 답변에 오류가 발생하게 됩니다. 그러니 찾아도 행렬식스스로 결과를 확인하는 것이 중요합니다. 이는 온라인으로 행렬의 행렬식 찾기 서비스를 통해 수행할 수 있습니다. 우리의 서비스는 항상 오류나 사무상의 오류 없이 절대적으로 정확한 결과를 제공합니다. 적용된 관점에서 볼 때 독립적인 계산을 거부할 수 있습니다. 행렬의 행렬식본질적으로 교육적이지는 않지만 단순히 많은 시간과 수치 계산이 필요합니다. 그러므로 당신의 임무에 있다면 행렬식의 정의보조, 부가 계산, 당사 서비스 이용 및 온라인으로 행렬의 행렬식을 찾아보세요!

모든 계산은 가장 높은 정확도로 자동으로 수행되며 완전 무료입니다. 우리는 행렬 요소를 입력하기 위한 매우 편리한 인터페이스를 가지고 있습니다. 그러나 우리 서비스와 유사한 서비스의 주요 차이점은 세부적인 솔루션을 얻을 수 있다는 것입니다. 우리의 서비스 온라인으로 행렬의 행렬식 계산항상 가장 간단하고 짧은 방법을 사용하며 변환 및 단순화의 각 단계를 자세히 설명합니다. 따라서 행렬식의 값, 최종 결과뿐만 아니라 전체 세부 솔루션도 얻을 수 있습니다.

4차 이상의 행렬식을 계산하려면 행이나 열을 따라 행렬식을 확장하거나 가우시안 방법을 적용하여 행렬식을 삼각형 형태로 축소할 수 있습니다. 행이나 열의 행렬식 분해를 고려해 봅시다.

행렬의 행렬식은 행렬식의 행 요소에 대수적 보수를 곱한 값의 합과 같습니다.

확장 기준 나- 그 줄.

행렬의 행렬식은 행렬식 열의 요소에 대수적 보수를 곱한 합과 같습니다.

확장 기준 제이- 그 줄.

행렬의 행렬식 분해를 용이하게 하기 위해 일반적으로 최대 개수의 0개 요소를 갖는 행/열을 선택합니다.

예

4차 행렬의 행렬식을 찾아봅시다.

이 행렬식을 열별로 확장하겠습니다. №3

요소 대신 0을 만들어 봅시다 4 3 =9. 이 작업을 수행하려면 라인에서 №4 라인의 해당 요소에서 빼기 №1 곱셈 3 .
결과는 다음 줄에 기록됩니다. №4 다른 모든 줄은 변경 없이 다시 작성됩니다.

그래서 우리는 모든 요소를 0으로 만들었습니다. 1 3 = 3열에 № 3 . 이제 우리는 이 열 뒤에 있는 행렬식을 더욱 확장할 수 있습니다.

우리는 용어 만 본다. №1 0으로 바뀌지 않으면 다른 모든 항은 0을 곱하므로 0이 됩니다.
이는 더 나아가 하나의 행렬식만 확장하면 된다는 것을 의미합니다:

우리는 이 행렬식을 행별로 확장할 것입니다. №1 . 추가 계산을 용이하게 하기 위해 몇 가지 변환을 만들어 보겠습니다.

이 행에 두 개의 동일한 숫자가 있으므로 열에서 뺍니다. №3 열 №2 , 그리고 그 결과를 열에 씁니다. №3 , 이는 행렬식의 값을 변경하지 않습니다.

다음으로 요소 대신 0을 만들어야 합니다. 1 2 =4. 이를 위해 우리는 열 요소를 가지고 있습니다 №2 곱하다 3 거기에서 해당 열 요소를 뺍니다. №1 곱셈 4 . 결과는 칼럼에 써있습니다 №2 다른 모든 열은 변경 없이 다시 작성됩니다.

하지만 우리가 잊지 말아야 할 것은 열을 곱하면 №2 ~에 3 , 그러면 전체 행렬식은 다음과 같이 증가합니다. 3 . 그리고 변하지 않기 위해서는 다음과 같이 나누어야 한다는 뜻이다. 3 .

라플라스의 정리를 떠올려 보겠습니다.
라플라스의 정리:

k개의 행(또는 k개의 열)이 n차 행렬식 d에서 임의로 선택된다고 가정합니다. 그런 다음 선택한 행에 포함된 모든 k차 마이너와 해당 대수적 보수의 곱의 합은 행렬식 d와 같습니다.

행렬식을 계산하기 위해 일반적인 경우 k는 1과 같습니다. 즉, n차 행렬식 d에서 행(또는 열)이 임의로 선택됩니다. 그런 다음 선택한 행(또는 열)에 포함된 모든 요소와 해당 대수적 보수의 곱의 합은 행렬식 d와 같습니다.

예:
계산 행렬식

해결책:

임의의 행이나 열을 선택해 보겠습니다. 조금 후에 분명해질 이유 때문에 선택을 세 번째 행이나 네 번째 열로 제한하겠습니다. 그리고 세 번째 줄에서 멈추자.

라플라스의 정리를 이용해보자.

선택한 행의 첫 번째 요소는 10이며 세 번째 행과 첫 번째 열에 나타납니다. 이에 대한 대수적 보수를 계산해 보겠습니다. 이 요소가 서 있는 열과 행(10)을 지워서 얻은 행렬식을 구하고 부호를 알아봅시다.

"마이너 M이 위치한 모든 행과 열의 수의 합이 짝수이면 플러스이고, 이 합이 홀수이면 마이너스입니다."
그리고 우리는 세 번째 행의 첫 번째 열에 있는 하나의 단일 요소 10으로 구성된 마이너를 선택했습니다.

그래서:

이 합계의 네 번째 항은 0이므로 최대 0개 요소 수가 있는 행이나 열을 선택하는 것이 좋습니다.

답변: -1228

예:
행렬식을 계산합니다.

해결책:
첫 번째 열을 선택하겠습니다. 왜냐하면... 그 안의 두 요소는 0과 같습니다. 첫 번째 열을 따라 행렬식을 확장해 보겠습니다.

첫 번째 두 번째 행을 따라 각 3차 행렬식을 확장합니다.

첫 번째 열을 따라 각 2차 행렬식을 확장합니다.

답변: 48
논평:이 문제를 풀 때 2차 및 3차 행렬식을 계산하는 공식은 사용되지 않았습니다. 행 또는 열 분해만 사용되었습니다. 이는 결정 요인의 순서를 감소시킵니다.

문제의 공식화

이 작업을 수행하려면 사용자가 행렬식, 역행렬 등 수치해석법의 기본 개념과 이를 계산하는 다양한 방법에 익숙해져야 합니다. 이 이론적 보고서는 먼저 간단하고 접근 가능한 언어로 기본 개념과 정의를 소개하고 이를 기반으로 추가 연구가 수행됩니다. 사용자는 수치해석 및 선형대수학 분야에 대한 특별한 지식이 없어도 본 작업의 결과를 쉽게 활용할 수 있습니다. 명확성을 위해 C++ 프로그래밍 언어로 작성된 여러 가지 방법을 사용하여 행렬의 행렬식을 계산하는 프로그램이 제공됩니다. 이 프로그램은 보고서의 일러스트레이션을 만들기 위한 실험실 스탠드로 사용됩니다. 선형대수방정식의 연립방정식을 푸는 방법에 대한 연구도 진행되고 있습니다. 역행렬을 계산하는 것의 무익함이 입증되었으므로 이 작업은 계산하지 않고 방정식을 풀 수 있는 보다 최적의 방법을 제공합니다. 행렬식과 역행렬을 계산하는 방법이 왜 그렇게 다양한지 설명하고 그 단점에 대해 논의합니다. 행렬식 계산의 오류도 고려되며 달성된 정확도가 평가됩니다. 러시아어 용어 외에도 이 작업에서는 도서관에서 수치 절차를 찾을 때 어떤 이름으로 검색해야 하는지, 해당 매개변수가 무엇을 의미하는지 이해하기 위해 해당 영어 용어도 사용합니다.

기본 정의 및 가장 간단한 속성

결정자

모든 차수의 정사각 행렬의 행렬식에 대한 정의를 소개하겠습니다. 이 정의는 반복되는즉, 차수행렬의 행렬식을 설정하려면 차수행렬의 행렬식이 무엇인지 이미 알아야 합니다. 또한 행렬식은 정사각 행렬에만 존재한다는 점에 유의하세요.

정방행렬의 행렬식을 det 또는 det로 표시하겠습니다.

정의 1. 결정자정사각 행렬 2차 주문번호가 불려요 .

결정자 차수 정사각 행렬을 숫자라고 합니다.

여기서 는 숫자가 있는 첫 번째 행과 열을 삭제하여 행렬에서 얻은 차수 행렬의 행렬식입니다.

명확성을 위해 4차 행렬의 행렬식을 계산하는 방법을 적어 보겠습니다.

논평.정의에 기초한 3차 이상의 행렬에 대한 행렬식의 실제 계산은 예외적인 경우에 사용됩니다. 일반적으로 계산은 나중에 설명하고 계산 작업이 덜 필요한 다른 알고리즘을 사용하여 수행됩니다.

논평.정의 1에서 행렬식은 순서의 제곱 행렬 집합에 정의되고 숫자 집합에서 값을 취하는 함수라고 말하는 것이 더 정확할 것입니다.

논평.문헌에서는 "결정자"라는 용어 대신 "결정자"라는 용어도 사용되며 동일한 의미를 갖습니다. "결정자"라는 단어에서 det라는 명칭이 나타났습니다.

진술의 형태로 공식화할 행렬식의 일부 속성을 고려해 보겠습니다.

진술 1.행렬을 전치할 때 행렬식은 변하지 않습니다.

진술 2.정사각형 행렬의 곱의 행렬식은 요인의 행렬식의 곱과 같습니다.

진술 3.행렬의 두 행이 바뀌면 행렬식의 부호가 변경됩니다.

진술 4.행렬에 두 개의 동일한 행이 있으면 행렬식은 0입니다.

앞으로는 문자열을 더하고 문자열에 숫자를 곱해야 할 것입니다. 행 행렬(열 행렬)에 대한 작업과 동일한 방식으로, 즉 요소별로 이러한 작업을 행(열)에 수행합니다. 결과는 일반적으로 원래 행렬의 행과 일치하지 않는 행(열)입니다. 행(열)을 더하고 숫자를 곱하는 연산이 있는 경우 행(열)의 선형 조합, 즉 수치 계수와의 합에 대해서도 이야기할 수 있습니다.

진술 5.행렬의 행에 숫자를 곱하면 행렬식에 이 숫자가 곱해집니다.

진술 6.행렬에 0개의 행이 포함되어 있으면 행렬식은 0입니다.

진술 7.행렬의 행 중 하나가 다른 행과 같고 숫자를 곱하면(행은 비례함) 행렬의 행렬식은 0과 같습니다.

진술 8.행렬의 i번째 행의 형식을 다음과 같이 설정합니다. 그런 다음, 행렬로부터 i번째 행을 행으로 대체하여 행렬을 얻고, i번째 행을 행으로 대체하여 행렬을 얻는다.

진술 9.행렬 행 중 하나에 다른 행을 추가하고 숫자를 곱하면 행렬의 행렬식은 변경되지 않습니다.

진술 10.행렬의 행 중 하나가 다른 행의 선형 조합인 경우 행렬의 행렬식은 0과 같습니다.

정의 2. 대수적 보완여기서 는 i번째 행과 j번째 열을 삭제하여 행렬에서 얻은 행렬의 행렬식입니다. 행렬 요소의 대수적 보수는 로 표시됩니다.

예.허락하다 . 그 다음에

논평.대수적 덧셈을 사용하여 1 행렬식의 정의는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

진술 11. 임의의 문자열에서 행렬식을 확장합니다.

행렬식의 공식은 다음과 같습니다.

예.계산하다 .

해결책.세 번째 줄을 따라 확장을 사용해 보겠습니다. 세 번째 줄에서는 세 숫자 중 두 개가 0이기 때문에 이것이 더 수익성이 높습니다. 우리는 얻는다

진술 12.차수의 정사각 행렬의 경우 관계식은 다음과 같습니다. .

진술 13.행(문 1 - 11)에 대해 공식화된 행렬식의 모든 속성은 열에도 유효하며, 특히 j번째 열의 행렬식 분해가 유효합니다. 그리고 평등 에 .

진술 14.삼각 행렬의 행렬식은 주대각선 요소의 곱과 같습니다.

결과.단위 행렬의 행렬식은 1과 같습니다.

결론.위에 나열된 속성을 사용하면 상대적으로 적은 양의 계산으로 충분히 높은 차수 행렬의 행렬식을 찾을 수 있습니다. 계산 알고리즘은 다음과 같습니다.

열에 0을 생성하는 알고리즘입니다.순서 결정자를 계산해야 한다고 가정해 보겠습니다. 이면 첫 번째 줄과 첫 번째 요소가 0이 아닌 다른 줄을 바꿉니다. 결과적으로 행렬식은 반대 부호를 갖는 새 행렬의 행렬식과 같습니다. 각 행의 첫 번째 요소가 0이면 행렬의 열은 0이고 명령문 1, 13에 따르면 행렬식은 0입니다.

그래서 우리는 그것이 원래 행렬에 이미 있다고 믿습니다. 첫 번째 줄은 변경하지 않고 그대로 둡니다. 두 번째 줄에 첫 번째 줄에 숫자를 곱한 값을 추가합니다. 그러면 두 번째 줄의 첫 번째 요소는 다음과 같습니다. .

새로운 두 번째 행의 나머지 요소를 , 로 표시합니다. 진술 9에 따른 새로운 행렬의 행렬식은 와 같습니다. 첫 번째 줄에 숫자를 곱하고 세 번째 줄에 더합니다. 새로운 세 번째 줄의 첫 번째 요소는 다음과 같습니다.

새로운 세 번째 행의 나머지 요소를 , 로 표시합니다. 진술 9에 따른 새로운 행렬의 행렬식은 와 같습니다.

우리는 라인의 첫 번째 요소 대신 0을 얻는 프로세스를 계속할 것입니다. 마지막으로 첫 번째 줄에 숫자를 곱하고 마지막 줄에 추가합니다. 결과는 행렬입니다. 이를 나타내자면 다음과 같은 형식을 갖습니다.

그리고 . 행렬식을 계산하기 위해 첫 번째 열에서 확장을 사용합니다.

그때부터

오른쪽에는 차수 행렬의 행렬식이 있습니다. 여기에 동일한 알고리즘을 적용하면 행렬의 행렬식 계산이 차수 행렬의 행렬식 계산으로 축소됩니다. 정의에 따라 계산되는 2차 행렬식에 도달할 때까지 이 과정을 반복합니다.

행렬에 특별한 속성이 없으면 제안하는 알고리즘에 비해 계산량을 크게 줄일 수 없습니다. 이 알고리즘의 또 다른 좋은 측면은 이를 사용하여 대량 행렬의 행렬식을 계산하는 컴퓨터 프로그램을 만드는 것이 쉽다는 것입니다. 행렬식을 계산하기 위한 표준 프로그램은 컴퓨터 계산에서 반올림 오류 및 입력 데이터 오류의 영향을 최소화하는 것과 관련된 사소한 변경을 통해 이 알고리즘을 사용합니다.

예.행렬의 행렬식 계산 .

해결책.첫 번째 줄은 변경하지 않고 그대로 둡니다. 두 번째 줄에 첫 번째 줄에 숫자를 곱한 값을 추가합니다.

행렬식은 변하지 않습니다. 세 번째 줄에 첫 번째 줄에 숫자를 곱한 값을 추가합니다.

행렬식은 변하지 않습니다. 네 번째 줄에 첫 번째 줄에 숫자를 곱한 값을 추가합니다.

행렬식은 변하지 않습니다. 결과적으로 우리는

동일한 알고리즘을 사용하여 오른쪽에 있는 3차 행렬의 행렬식을 계산합니다. 첫 번째 줄은 변경하지 않고 첫 번째 줄에 숫자를 곱한 값을 두 번째 줄에 추가합니다. :

세 번째 줄에 첫 번째 줄에 숫자를 곱한 값을 더합니다. :

결과적으로 우리는

답변. .

논평.계산에는 분수가 사용되었지만 결과는 정수로 나타났습니다. 실제로 행렬식의 속성과 원래 숫자가 정수라는 사실을 사용하면 분수를 사용한 연산을 피할 수 있습니다. 그러나 엔지니어링 실무에서 숫자가 정수인 경우는 극히 드뭅니다. 따라서 일반적으로 행렬식의 요소는 소수이며 계산을 단순화하기 위해 트릭을 사용하는 것은 부적절합니다.

역행렬

정의 3.매트릭스가 호출됩니다. 역행렬정사각 행렬의 경우 .

정의에 따르면 역행렬은 행렬과 동일한 차수의 정사각 행렬이 됩니다(그렇지 않으면 곱 중 하나 또는 정의되지 않음).

행렬의 역행렬은 으로 표시됩니다. 따라서 존재한다면 .

역행렬의 정의에 따르면 행렬은 행렬의 역행렬, 즉 . 우리는 행렬이 서로 역이거나 상호 역이라고 말할 수 있습니다.

행렬식의 행렬식이 0이면 그 역행렬은 존재하지 않습니다.

역행렬을 찾으려면 행렬의 행렬식이 0인지 아닌지가 중요하므로 다음 정의를 소개합니다.

정의 4.정사각 행렬을 호출해 봅시다. 퇴화하다또는 특수 매트릭스, 만약에 비퇴화또는 비특이행렬, 만약에 .

성명.역행렬이 존재하는 경우 이는 고유합니다.

성명.정사각 행렬이 비특이 행렬이면 그 역행렬이 존재하고 (1) 요소에 대한 대수적 보완은 어디에 있습니까?

정리.정사각 행렬의 역행렬은 행렬이 비특이 행렬이고 역행렬이 고유하며 식 (1)이 유효한 경우에만 존재합니다.

논평.역행렬 공식에서 대수적 덧셈이 차지하는 위치에 특별한 주의를 기울여야 합니다. 첫 번째 색인은 숫자를 나타냅니다. 열, 두 번째는 숫자입니다 윤곽, 계산된 대수 덧셈을 작성해야 합니다.

예. .

해결책.행렬식 찾기

이므로 행렬은 퇴화되지 않으며 그 역행렬이 존재합니다. 대수적 보완 찾기:

첫 번째 인덱스가 열에 해당하고 두 번째 인덱스가 행에 해당하도록 발견된 대수 덧셈을 배치하여 역행렬을 구성합니다. (2)

결과 행렬 (2)는 문제에 대한 답 역할을 합니다.

논평.이전 예에서는 다음과 같이 답을 작성하는 것이 더 정확합니다.
(3)

그러나 표기법 (2)는 더 간결하며 필요한 경우 이를 사용하여 추가 계산을 수행하는 것이 더 편리합니다. 따라서 행렬 요소가 정수인 경우 (2) 형식으로 답을 작성하는 것이 좋습니다. 반대로, 행렬의 요소가 소수인 경우 앞에 인수 없이 역행렬을 작성하는 것이 좋습니다.

논평.역행렬을 구할 때 꽤 많은 계산을 해야 하고, 최종 행렬에 대수적 덧셈을 배열하는 규칙도 특이하다. 따라서 오류가 발생할 확률이 높습니다. 오류를 방지하려면 다음 사항을 확인해야 합니다. 원래 행렬과 최종 행렬의 곱을 한 순서 또는 다른 순서로 계산합니다. 결과가 단위 행렬이면 역행렬이 올바르게 발견된 것입니다. 그렇지 않으면 오류를 찾아야 합니다.

예.역행렬 찾기 .