Să fie o matrice pătrată de ordinul al n-lea

Se numește matricea A -1 matrice inversăîn raport cu matricea A, dacă A*A -1 = E, unde E este matricea de identitate de ordinul al n-lea.

Matrice de identitate- o astfel de matrice pătrată în care toate elementele de-a lungul diagonalei principale, care trec din colțul din stânga sus în colțul din dreapta jos, sunt unul, iar restul sunt zerouri, de exemplu:

matrice inversă poate exista numai pentru matrice pătrată acestea. pentru acele matrici în care numărul de rânduri și coloane coincide.

Teorema pentru condiția de existență a unei matrici inverse

Pentru ca o matrice să aibă o matrice inversă, este necesar și suficient ca aceasta să fie nesingulară.

Se numește matricea A = (A1, A2,...A n). nedegenerat, dacă vectorii coloanei sunt liniar independenți. Numărul de vectori coloană liniar independenți ai unei matrice se numește rangul matricei. Prin urmare, putem spune că pentru ca o matrice inversă să existe, este necesar și suficient ca rangul matricei să fie egal cu dimensiunea acesteia, adică. r = n.

Algoritm pentru găsirea matricei inverse

1. Scrieți matricea A în tabelul pentru rezolvarea sistemelor de ecuații folosind metoda Gaussiană și atribuiți-i matricea E din dreapta (în loc de părțile din dreapta ale ecuațiilor).
2. Folosind transformările Jordan, reduceți matricea A la o matrice formată din coloane de unitate; în acest caz, este necesară transformarea simultană a matricei E.
3. Dacă este necesar, rearanjați rândurile (ecuațiile) ultimului tabel astfel încât sub matricea A a tabelului original să obțineți matricea de identitate E.
4. Notați matricea inversă A -1, care se află în ultimul tabel sub matricea E a tabelului original.

Exemplul 1

Pentru matricea A, găsiți matricea inversă A -1

Rezolvare: Scriem matricea A și atribuim matricea de identitate E la dreapta Folosind transformările Jordan, reducem matricea A la matricea de identitate E. Calculele sunt date în Tabelul 31.1.

Să verificăm corectitudinea calculelor înmulțind matricea originală A și matricea inversă A -1.

Ca rezultat al înmulțirii matricei s-a obținut matricea de identitate. Prin urmare, calculele au fost făcute corect.

Răspuns:

Rezolvarea ecuațiilor matriceale

Ecuațiile matriceale pot arăta astfel:

AX = B, HA = B, AXB = C,

unde A, B, C sunt matricele specificate, X este matricea dorită.

Ecuațiile matriceale se rezolvă prin înmulțirea ecuației cu matrici inverse.

De exemplu, pentru a găsi matricea din ecuație, trebuie să înmulțiți această ecuație cu din stânga.

Prin urmare, pentru a găsi o soluție la ecuație, trebuie să găsiți matricea inversă și să o înmulțiți cu matricea din partea dreaptă a ecuației.

Alte ecuații se rezolvă în mod similar.

Exemplul 2

Rezolvați ecuația AX = B dacă

Soluţie: Deoarece matricea inversă este egală cu (vezi exemplul 1)

Metoda matriceală în analiza economică

Alături de altele, sunt și ele folosite metode matriceale. Aceste metode se bazează pe algebră liniară și vector-matrice. Astfel de metode sunt utilizate în scopul analizării fenomenelor economice complexe și multidimensionale. Cel mai adesea, aceste metode sunt utilizate atunci când este necesar să se facă o evaluare comparativă a funcționării organizațiilor și a diviziunilor lor structurale.

În procesul de aplicare a metodelor de analiză matriceală se pot distinge mai multe etape.

La prima etapă se formează un sistem de indicatori economici și pe baza acestuia este compilată o matrice de date inițiale, care este un tabel în care numerele sistemului sunt afișate în rândurile sale individuale (i = 1,2,....,n), iar în coloane verticale - numere de indicatori (j = 1,2,....,m).

La a doua etapă Pentru fiecare coloană verticală, este identificată cea mai mare dintre valorile indicatorului disponibile, care este luată ca una.

După aceasta, toate sumele reflectate în această coloană sunt împărțite la cea mai mare valoare și se formează o matrice de coeficienți standardizați.

La a treia etapă toate componentele matricei sunt la pătrat. Dacă au semnificații diferite, atunci fiecărui indicator matrice i se atribuie un anumit coeficient de greutate k. Valoarea acestuia din urmă este determinată de opinia expertului.

Pe ultimul, a patra etapă au găsit valori de rating Rj sunt grupate în ordinea creșterii sau scăderii lor.

Metodele matricei prezentate ar trebui utilizate, de exemplu, într-o analiză comparativă a diferitelor proiecte de investiții, precum și în evaluarea altor indicatori economici ai activităților organizațiilor.

Pentru orice matrice nesingulară A există o matrice unică A -1 astfel încât

A*A -1 =A -1 *A = E,

unde E este matricea de identitate de aceleași ordine ca A. Matricea A -1 se numește inversul matricei A.

În cazul în care cineva a uitat, în matricea de identitate, cu excepția diagonalei umplute cu unele, toate celelalte poziții sunt umplute cu zerouri, un exemplu de matrice de identitate:

Găsirea matricei inverse folosind metoda matricei adiacente

Matricea inversă este definită prin formula:

unde A ij - elemente a ij.

Acestea. Pentru a calcula matricea inversă, trebuie să calculați determinantul acestei matrice. Apoi găsiți complementele algebrice pentru toate elementele sale și compuneți o nouă matrice din ele. În continuare trebuie să transportați această matrice. Și împărțiți fiecare element al noii matrice la determinantul matricei originale.

Să ne uităm la câteva exemple.

Găsiți A -1 pentru o matrice

Soluție Să găsim A -1 folosind metoda matricei adiacente. Avem det A = 2. Să găsim complementele algebrice ale elementelor matricei A. În acest caz, complementele algebrice ale elementelor matricei vor fi elementele corespunzătoare ale matricei însăși, luate cu semn conform formulei.

Avem A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Formăm matricea adjunctă

Transportăm matricea A*:

Găsim matricea inversă folosind formula:

Primim:

Folosind metoda matricei adiacente, găsiți A -1 dacă

Soluție În primul rând, calculăm definiția acestei matrice pentru a verifica existența matricei inverse. Avem

Aici am adăugat elementelor celui de-al doilea rând elementele celui de-al treilea rând, înmulțite anterior cu (-1), apoi am extins determinantul pentru al doilea rând. Deoarece definiția acestei matrice este diferită de zero, matricea sa inversă există. Pentru a construi matricea adjunctă, găsim complementele algebrice ale elementelor acestei matrice. Avem

Conform formulei

matricea de transport A*:

Apoi conform formulei

Găsirea matricei inverse folosind metoda transformărilor elementare

Pe lângă metoda de găsire a matricei inverse, care decurge din formulă (metoda matricei adiacente), există o metodă de găsire a matricei inverse, numită metoda transformărilor elementare.

Transformări matriceale elementare

Următoarele transformări se numesc transformări matrice elementare:

1) rearanjarea rândurilor (coloanelor);

2) înmulțirea unui rând (coloană) cu un alt număr decât zero;

3) adăugarea elementelor unui rând (coloană) a elementelor corespunzătoare unui alt rând (coloană), înmulțite anterior cu un anumit număr.

Pentru a găsi matricea A -1, construim o matrice dreptunghiulară B = (A|E) de ordine (n; 2n), atribuind matricei A din dreapta matricea de identitate E printr-o linie de despărțire:

Să ne uităm la un exemplu.

Folosind metoda transformărilor elementare, găsiți A -1 dacă

Soluție Formăm matricea B:

Să notăm rândurile matricei B cu α 1, α 2, α 3. Să efectuăm următoarele transformări pe rândurile matricei B.

Acest subiect este unul dintre cele mai urâte printre studenți. Mai rău, probabil, sunt calificările.

Trucul este că însuși conceptul de element invers (și nu mă refer doar la matrice) ne trimite la operația de înmulțire. Chiar și în programa școlară, înmulțirea este considerată o operație complexă, iar înmulțirea matricelor este în general o temă separată, căreia am un întreg paragraf și o lecție video dedicată.

Astăzi nu vom intra în detaliile calculelor matriceale. Să ne amintim: cum sunt desemnate matricele, cum sunt înmulțite și ce rezultă din aceasta.

Recenzie: Înmulțirea matricelor

În primul rând, să cădem de acord asupra notării. O matrice $A$ de dimensiunea $\left[ m\times n \right]$ este pur și simplu un tabel de numere cu exact $m$ rânduri și $n$ coloane:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrice) \right])_(n)\]

Pentru a evita amestecarea accidentală a rândurilor și coloanelor (credeți-mă, la un examen puteți confunda unul cu doi, darămite câteva rânduri), priviți imaginea:

Determinarea indicilor pentru celulele matriceale

Ce se întâmplă? Dacă plasați sistemul de coordonate standard $OXY$ în colțul din stânga sus și direcționați axele astfel încât să acopere întreaga matrice, atunci fiecare celulă a acestei matrice poate fi asociată în mod unic cu coordonatele $\left(x;y \right)$ - acesta va fi numărul rândului și numărul coloanei.

De ce este plasat sistemul de coordonate în colțul din stânga sus? Da, pentru că de acolo începem să citim orice texte. Este foarte ușor de reținut.

De ce axa $x$ este îndreptată în jos și nu spre dreapta? Din nou, este simplu: luați un sistem de coordonate standard (axa $x$ merge la dreapta, axa $y$ merge în sus) și rotiți-l astfel încât să acopere matricea. Aceasta este o rotație de 90 de grade în sensul acelor de ceasornic - vedem rezultatul în imagine.

În general, ne-am dat seama cum să determinăm indicii elementelor matricei. Acum să ne uităm la înmulțire.

Definiție. Matricele $A=\left[ m\times n \right]$ și $B=\left[ n\times k \right]$, când numărul de coloane din prima coincide cu numărul de rânduri din a doua, sunt numite consistente.

Exact în acea ordine. Se poate confunda și spune că matricele $A$ și $B$ formează o pereche ordonată $\left(A;B \right)$: dacă sunt consistente în această ordine, atunci nu este deloc necesar ca $B $ și $A$ acelea. perechea $\left(B;A \right)$ este de asemenea consistentă.

Numai matricele potrivite pot fi multiplicate.

Definiție. Produsul matricelor potrivite $A=\left[ m\times n \right]$ și $B=\left[ n\times k \right]$ este noua matrice $C=\left[ m\times k \right ]$ , ale căror elemente $((c)_(ij))$ se calculează după formula:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Cu alte cuvinte: pentru a obține elementul $((c)_(ij))$ al matricei $C=A\cdot B$, trebuie să luați $i$-rândul primei matrice, $j$ -a coloană a celei de-a doua matrice, apoi înmulțiți în perechi elementele din acest rând și coloană. Adunați rezultatele.

Da, aceasta este o definiție atât de dură. Din aceasta decurg imediat mai multe fapte:

1. Înmulțirea matriceală, în general, este necomutativă: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Totuși, înmulțirea este asociativă: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. Și chiar distributiv: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. Și încă o dată distributiv: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Distributivitatea înmulțirii a trebuit să fie descrisă separat pentru factorul de sumă din stânga și din dreapta tocmai din cauza necomutativității operației de înmulțire.

Dacă se dovedește că $A\cdot B=B\cdot A$, astfel de matrici se numesc comutative.

Printre toate matricele care sunt înmulțite cu ceva acolo, există unele speciale - cele care, atunci când sunt înmulțite cu orice matrice $A$, dau din nou $A$:

Definiție. O matrice $E$ se numește identitate dacă $A\cdot E=A$ sau $E\cdot A=A$. În cazul unei matrice pătrate $A$ putem scrie:

Matricea de identitate este un invitat frecvent atunci când rezolvăm ecuațiile matriceale. Și, în general, un invitat frecvent în lumea matricelor :)

Și din cauza acestui $E$, cineva a venit cu toate prostiile care vor fi scrise în continuare.

Ce este o matrice inversă

Deoarece înmulțirea matricei este o operație foarte intensă de muncă (trebuie să înmulțiți o grămadă de rânduri și coloane), conceptul de matrice inversă se dovedește a nu fi cel mai banal. Și necesită niște explicații.

Definiție cheie

Ei bine, este timpul să cunoaștem adevărul.

Definiție. O matrice $B$ se numește inversul unei matrice $A$ dacă

Matricea inversă este notată cu $((A)^(-1))$ (a nu se confunda cu gradul!), deci definiția poate fi rescrisă după cum urmează:

S-ar părea că totul este extrem de simplu și clar. Dar atunci când analizăm această definiție, apar imediat câteva întrebări:

1. Există întotdeauna o matrice inversă? Și dacă nu întotdeauna, atunci cum să determinați: când există și când nu?
2. Și cine a spus că există exact o astfel de matrice? Ce se întâmplă dacă pentru o matrice inițială $A$ există o mulțime întreagă de inverse?
3. Cum arată toate aceste „reversuri”? Și cum, mai exact, ar trebui să le numărăm?

În ceea ce privește algoritmii de calcul, despre asta vom vorbi puțin mai târziu. Dar vom răspunde la întrebările rămase chiar acum. Să le formulăm sub forma unor enunţuri-leme separate.

Proprietăți de bază

Să începem cu cum ar trebui, în principiu, să arate matricea $A$ pentru ca $((A)^(-1))$ să existe pentru ea. Acum ne vom asigura că ambele matrice trebuie să fie pătrate și de aceeași dimensiune: $\left[ n\times n \right]$.

Lema 1. Având în vedere o matrice $A$ și inversul ei $((A)^(-1))$. Atunci ambele aceste matrici sunt pătrate și de același ordin $n$.

Dovada. E simplu. Fie matricea $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Deoarece produsul $A\cdot ((A)^(-1))=E$ există prin definiție, matricele $A$ și $((A)^(-1))$ sunt consistente în ordinea prezentată:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( alinia)\]

Aceasta este o consecință directă a algoritmului de multiplicare a matricei: coeficienții $n$ și $a$ sunt „tranzit” și trebuie să fie egali.

În același timp, se definește și înmulțirea inversă: $((A)^(-1))\cdot A=E$, deci matricele $((A)^(-1))$ și $A$ sunt de asemenea, consecvent în ordinea specificată:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( alinia)\]

Astfel, fără pierderea generalității, putem presupune că $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Cu toate acestea, conform definiției lui $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, prin urmare dimensiunile matricelor coincid strict:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Deci, se dovedește că toate cele trei matrici - $A$, $((A)^(-1))$ și $E$ - sunt matrici pătrate de dimensiunea $\left[ n\times n \right]$. Lema este dovedită.

Ei bine, asta e deja bine. Vedem că numai matricele pătrate sunt inversabile. Acum să ne asigurăm că matricea inversă este întotdeauna aceeași.

Lema 2. Având în vedere o matrice $A$ și inversul ei $((A)^(-1))$. Atunci această matrice inversă este singura.

Dovada. Să trecem prin contradicție: să fie matricea $A$ să aibă cel puțin două inverse - $B$ și $C$. Atunci, conform definiției, următoarele egalități sunt adevărate:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(align)\]

Din lema 1 concluzionăm că toate cele patru matrice - $A$, $B$, $C$ și $E$ - sunt pătrate de același ordin: $\left[ n\times n \right]$. Prin urmare, produsul este definit:

Deoarece înmulțirea matriceală este asociativă (dar nu comutativă!), putem scrie:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \end(align)\]

Avem singura opțiune posibilă: două copii ale matricei inverse sunt egale. Lema este dovedită.

Argumentele de mai sus repetă aproape textual demonstrația unicității elementului invers pentru toate numerele reale $b\ne 0$. Singura adăugare semnificativă este luarea în considerare a dimensiunii matricelor.

Cu toate acestea, încă nu știm nimic despre dacă fiecare matrice pătrată este inversabilă. Aici determinantul ne vine în ajutor - aceasta este o caracteristică cheie pentru toate matricele pătrate.

Lema 3. Dată o matrice $A$. Dacă matricea sa inversă $((A)^(-1))$ există, atunci determinantul matricei originale este diferit de zero:

\[\stanga| A\dreapta|\ne 0\]

Dovada. Știm deja că $A$ și $((A)^(-1))$ sunt matrici pătrate de dimensiune $\left[ n\times n \right]$. Prin urmare, pentru fiecare dintre ele putem calcula determinantul: $\left| A\dreapta|$ și $\stânga| ((A)^(-1)) \dreapta|$. Totuși, determinantul unui produs este egal cu produsul determinanților:

\[\stanga| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \dreapta|\]

Dar conform definiției, $A\cdot ((A)^(-1))=E$, iar determinantul lui $E$ este întotdeauna egal cu 1, deci

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\dreapta|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(align)\]

Produsul a două numere este egal cu unul numai dacă fiecare dintre aceste numere este diferit de zero:

\[\stanga| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \dreapta|\ne 0.\]

Deci, se dovedește că $\left| A \dreapta|\ne 0$. Lema este dovedită.

De fapt, această cerință este destul de logică. Acum vom analiza algoritmul de găsire a matricei inverse - și va deveni complet clar de ce, cu un determinant zero, nu poate exista în principiu nicio matrice inversă.

Dar mai întâi, să formulăm o definiție „auxiliară”:

Definiție. O matrice singulară este o matrice pătrată de dimensiunea $\left[ n\times n \right]$ al cărei determinant este zero.

Astfel, putem susține că fiecare matrice inversabilă este nesingulară.

Cum se află inversul unei matrice

Acum vom lua în considerare un algoritm universal pentru găsirea matricilor inverse. În general, există doi algoritmi general acceptați și îl vom lua în considerare și pe al doilea astăzi.

Cea care va fi discutată acum este foarte eficientă pentru matrice de dimensiune $\left[ 2\times 2 \right]$ și - parțial - dimensiune $\left[ 3\times 3 \right]$. Dar pornind de la dimensiunea $\left[ 4\times 4 \right]$ este mai bine să nu-l folosești. De ce - acum vei înțelege totul singur.

Adunări algebrice

Pregateste-te. Acum va fi durere. Nu, nu-ți face griji: o asistentă frumoasă în fustă, ciorapi cu dantelă nu vor veni la tine și îți vor face o injecție în fese. Totul este mult mai prozaic: adăugările algebrice și Majestatea Sa „Matricea Unirii” vin la tine.

Să începem cu principalul. Să fie o matrice pătrată de mărimea $A=\left[ n\times n \right]$, ale cărei elemente se numesc $((a)_(ij))$. Apoi pentru fiecare astfel de element putem defini un complement algebric:

Definiție. Complement algebric $((A)_(ij))$ la elementul $((a)_(ij))$ situat în $i$-lea rând și $j$-a coloană a matricei $A=\left[ n \times n \right]$ este o construcție a formei

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Unde $M_(ij)^(*)$ este determinantul matricei obținute din $A$ original prin ștergerea aceluiași $i$-lea rând și $j$-a coloană.

Din nou. Complementul algebric la un element de matrice cu coordonatele $\left(i;j \right)$ se notează $((A)_(ij))$ și se calculează conform schemei:

1. În primul rând, ștergem $i$-rândul și $j$-a coloană din matricea originală. Obținem o nouă matrice pătrată și notăm determinantul ei $M_(ij)^(*)$.
2. Apoi înmulțim acest determinant cu $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - la început această expresie poate părea uimitoare, dar, în esență, pur și simplu descoperim semnul din fața lui $M_(ij)^(*) $.
3. Numărăm și obținem un anumit număr. Acestea. adunarea algebrică este tocmai un număr, și nu o matrice nouă etc.

Matricea $M_(ij)^(*)$ însăși este numită un minor suplimentar pentru elementul $((a)_(ij))$. Și în acest sens, definiția de mai sus a unui complement algebric este un caz special al unei definiții mai complexe - ceea ce ne-am uitat în lecția despre determinant.

Notă importantă. De fapt, în matematica „adulților”, adunările algebrice sunt definite după cum urmează:

1. Luăm $k$ rânduri și $k$ coloane într-o matrice pătrată. La intersecția lor obținem o matrice de dimensiune $\left[ k\times k \right]$ - determinantul său se numește minor de ordin $k$ și se notează $((M)_(k))$.
2. Apoi tăiem aceste $k$ rânduri și $k$ coloane „selectate”. Încă o dată obțineți o matrice pătrată - determinantul său se numește minor suplimentar și se notează $M_(k)^(*)$.
3. Înmulțiți $M_(k)^(*)$ cu $((\left(-1 \right))^(t))$, unde $t$ este (atenție acum!) suma numerelor tuturor rândurilor selectate si coloane. Aceasta va fi adunarea algebrică.

Uită-te la al treilea pas: există de fapt o sumă de termeni de 2k$! Alt lucru este că pentru $k=1$ vom obține doar 2 termeni - aceștia vor fi aceiași $i+j$ - „coordonatele” elementului $((a)_(ij))$ pentru care suntem căutând un complement algebric.

Deci astăzi folosim o definiție ușor simplificată. Dar după cum vom vedea mai târziu, va fi mai mult decât suficient. Următorul lucru este mult mai important:

Definiție. Matricea aliată $S$ cu matricea pătrată $A=\left[ n\times n \right]$ este o nouă matrice de dimensiune $\left[ n\times n \right]$, care se obține din $A$ prin înlocuirea $(( a)_(ij))$ cu adunări algebrice $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrice) \right]\]

Primul gând care apare în momentul realizării acestei definiții este „cât va trebui să fie numărat!” Relaxează-te: va trebui să numeri, dar nu atât de mult.

Ei bine, toate acestea sunt foarte frumoase, dar de ce este necesar? Dar de ce.

Teorema principală

Să ne întoarcem puțin înapoi. Amintiți-vă, în Lema 3 s-a afirmat că matricea inversabilă $A$ este întotdeauna nesingulară (adică determinantul său este diferit de zero: $\left| A \right|\ne 0$).

Deci, este și opusul adevărat: dacă matricea $A$ nu este singulară, atunci este întotdeauna inversabilă. Și există chiar și o schemă de căutare pentru $((A)^(-1))$. Verifică:

Teorema matricei inverse. Fie dată o matrice pătrată $A=\left[ n\times n \right]$, iar determinantul ei este diferit de zero: $\left| A \dreapta|\ne 0$. Atunci matricea inversă $((A)^(-1))$ există și se calculează prin formula:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

Și acum - totul este la fel, dar cu un scris de mână lizibil. Pentru a găsi matricea inversă, aveți nevoie de:

1. Calculați determinantul $\left| A \right|$ și asigurați-vă că este diferit de zero.
2. Construiți matricea de unire $S$, i.e. numărați 100500 de adunări algebrice $((A)_(ij))$ și plasați-le în locul $((a)_(ij))$.
3. Transpuneți această matrice $S$ și apoi înmulțiți-o cu un număr $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

Asta e tot! S-a găsit matricea inversă $((A)^(-1))$. Să ne uităm la exemple:

\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right]\]

Soluţie. Să verificăm reversibilitatea. Să calculăm determinantul:

\[\stanga| A\dreapta|=\stânga| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Determinantul este diferit de zero. Aceasta înseamnă că matricea este inversabilă. Să creăm o matrice de unire:

Să calculăm adunările algebrice:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\right|=3. \\ \end(align)\]

Vă rugăm să rețineți: determinanții |2|, |5|, |1| și |3| sunt determinanți ai matricelor de dimensiune $\left[ 1\times 1 \right]$, și nu module. Acestea. Dacă au existat numere negative în determinanți, nu este nevoie să eliminați „minus”.

În total, matricea noastră de uniuni arată astfel:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (matrice)(*(35)(r)) 2 și -1 \\ -5 și 3 \\\end(matrice) \right]\]

OK, totul sa terminat acum. Problema este rezolvată.

Răspuns. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

Sarcină. Aflați matricea inversă:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

Soluţie. Calculăm din nou determinantul:

\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Determinantul este diferit de zero - matricea este inversabilă. Dar acum va fi foarte greu: trebuie să numărăm până la 9 (nouă, nenorocitul!) adăugiri algebrice. Și fiecare dintre ele va conține determinantul $\left[ 2\times 2 \right]$. A zburat:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \end(matrice)\]

Pe scurt, matricea de unire va arăta astfel:

Prin urmare, matricea inversă va fi:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\end(matrice) \right]\]

Asta este. Iată răspunsul.

Răspuns. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

După cum puteți vedea, la sfârșitul fiecărui exemplu am efectuat o verificare. În acest sens, o notă importantă:

Nu fi lene să verifici. Înmulțiți matricea originală cu matricea inversă găsită - ar trebui să obțineți $E$.

Efectuarea acestei verificări este mult mai ușoară și mai rapidă decât căutarea unei erori în calculele ulterioare atunci când, de exemplu, rezolvați o ecuație matriceală.

Mod alternativ

După cum am spus, teorema matricei inverse funcționează grozav pentru dimensiunile $\left[ 2\times 2 \right]$ și $\left[ 3\times 3 \right]$ (în acest ultim caz, nu este atât de „mare”" ), dar pentru matrice mai mari începe tristețea.

Dar nu vă faceți griji: există un algoritm alternativ cu care puteți găsi calm inversul chiar și pentru matricea $\left[ 10\times 10 \right]$. Dar, așa cum se întâmplă adesea, pentru a lua în considerare acest algoritm avem nevoie de o mică introducere teoretică.

Transformări elementare

Printre toate transformările de matrice posibile, există mai multe speciale - ele sunt numite elementare. Există exact trei astfel de transformări:

1. Multiplicare. Puteți lua $i$-lea rând (coloană) și îl puteți înmulți cu orice număr $k\ne 0$;
2. Plus. Adăugați la $i$--lea rând (coloană) orice alt $j$--lea rând (coloană), înmulțit cu orice număr $k\ne 0$ (puteți, desigur, să faceți $k=0$, dar ce este nu se va schimba nimic).
3. Rearanjare. Luați rândurile $i$i și $j$-lea (coloane) și schimbați locurile.

De ce aceste transformări sunt numite elementare (pentru matrice mari nu arată atât de elementar) și de ce sunt doar trei dintre ele - aceste întrebări depășesc scopul lecției de astăzi. Prin urmare, nu vom intra în detalii.

Un alt lucru este important: trebuie să realizăm toate aceste perversiuni pe matricea adiacentă. Da, da: ai auzit bine. Acum va mai exista o definiție - ultima din lecția de astăzi.

Matrice adjunctă

Cu siguranță la școală ai rezolvat sisteme de ecuații folosind metoda adunării. Ei bine, scădeți altul dintr-o linie, înmulțiți o linie cu un număr - asta-i tot.

Deci: acum totul va fi la fel, dar într-un mod „adult”. Gata?

Definiție. Fie date o matrice $A=\left[ n\times n \right]$ și o matrice de identitate $E$ de aceeași dimensiune $n$. Apoi matricea adjunctă $\left[ A\left| E\ dreapta. \right]$ este o nouă matrice de dimensiune $\left[ n\time 2n \right]$ care arată astfel:

\[\left[ A\left| E\ dreapta. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(matrice) \right]\]

Pe scurt, luăm matricea $A$, în dreapta îi atribuim matricea de identitate $E$ de dimensiunea necesară, le separăm cu o bară verticală pentru frumusețe - aici aveți adjunctul :)

Care e siretlicul? Iată ce:

Teorema. Fie matricea $A$ să fie inversabilă. Se consideră matricea adjunctă $\left[ A\left| E\ dreapta. \dreapta]$. Dacă se utilizează conversii elementare de șiruri aduceți-l la forma $\left[ E\left| Luminos. \right]$, adică prin înmulțirea, scăderea și rearanjarea rândurilor pentru a obține din $A$ matricea $E$ din dreapta, apoi matricea $B$ obținută în stânga este inversul lui $A$:

\[\left[ A\left| E\ dreapta. \right]\la \left[ E\left| Luminos. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

Este atat de simplu! Pe scurt, algoritmul pentru găsirea matricei inverse arată astfel:

1. Scrieți matricea adjunctă $\left[ A\left| E\ dreapta. \dreapta]$;
2. Efectuați conversii elementare de șiruri până când apare $E$ în loc de $A$;
3. Desigur, ceva va apărea și în stânga - o anumită matrice $B$. Acesta va fi invers;
4. PROFIT!:)

Desigur, acest lucru este mult mai ușor de spus decât de făcut. Deci, să ne uităm la câteva exemple: pentru dimensiunile $\left[ 3\times 3 \right]$ și $\left[ 4\times 4 \right]$.

Sarcină. Aflați matricea inversă:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

Soluţie. Cream matricea adjunta:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 și 1 \\\end(matrice) \right]\]

Deoarece ultima coloană a matricei originale este umplută cu unele, scădeți primul rând din rest:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrice)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Nu mai există unități, cu excepția primei linii. Dar nu îl atingem, altfel unitățile proaspăt eliminate vor începe să se „înmulțească” în a treia coloană.

Dar putem scădea a doua linie de două ori din ultima - obținem una în colțul din stânga jos:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrice)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Acum putem scădea ultimul rând din primul și de două ori din al doilea - astfel vom „zero” prima coloană:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(matrice) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrice)\to \\ & \ la \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Înmulțiți a doua linie cu −1, apoi scădeți-o de 6 ori din prima și adăugați 1 dată la ultima:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(matrice)\la \\ & \la \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matrice)\la \\ & \la \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Tot ce rămâne este să schimbați liniile 1 și 3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(matrice) \right]\]

Gata! În dreapta este matricea inversă necesară.

Răspuns. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

Sarcină. Aflați matricea inversă:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(matrice) \dreapta]\]

Soluţie. Compunem din nou adjunctul:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\]

Să plângem puțin, să fim întristați de cât de mult trebuie să numărăm acum... și să începem să numărăm. Mai întâi, să „eliminăm zero” prima coloană scăzând rândul 1 din rândurile 2 și 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Vedem prea multe „contra” în rândurile 2-4. Înmulțiți toate cele trei rânduri cu -1 și apoi ardeți a treia coloană scăzând rândul 3 din rest:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(matrice) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrice)\la \\ & \la \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (matrice) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrice)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr|. rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Acum este momentul să „prăjim” ultima coloană a matricei originale: scădeți rândul 4 din rest:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Aruncare finală: „arzi” a doua coloană scăzând linia 2 din rândurile 1 și 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( matrice) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrice)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Și din nou matricea de identitate este în stânga, ceea ce înseamnă că inversul este în dreapta :)

Răspuns. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matrice) \right]$

OK, totul sa terminat acum. Verificați singuri - sunt înnebunit.

Similar cu inversul în multe proprietăți.

YouTube enciclopedic

1 / 5

✪ Matrice inversă (2 moduri de a găsi)

✪ Cum să găsiți inversul unei matrice - bezbotvy

✪ Matrice inversă #1

✪ Rezolvarea unui sistem de ecuații folosind metoda matricei inverse - bezbotvy

✪ Matrice inversă

Subtitrări

Proprietățile unei matrice inverse

• det A - 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Unde det (\displaystyle \\det ) denotă determinantul.
• (A B) - 1 = B - 1 A - 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) pentru două matrici inversabile pătrate A (\displaystyle A)Și B (\displaystyle B).
• (A T) - 1 = (A - 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Unde (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) denotă o matrice transpusă.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) pentru orice coeficient k ≠ 0 (\displaystyle k\nu =0).
• E - 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• Dacă este necesar să se rezolve un sistem de ecuații liniare, (b este un vector diferit de zero) unde x (\displaystyle x) este vectorul dorit, iar dacă A - 1 (\displaystyle A^(-1)) există, atunci x = A - 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). În caz contrar, fie dimensiunea spațiului soluției este mai mare decât zero, fie nu există soluții deloc.

Metode de găsire a matricei inverse

Dacă matricea este inversabilă, atunci pentru a găsi matricea inversă puteți utiliza una dintre următoarele metode:

Metode exacte (directe).

metoda Gauss-Jordan

Să luăm două matrice: the A si singura E. Să prezentăm matricea A la matricea de identitate folosind metoda Gauss-Jordan, aplicând transformări de-a lungul rândurilor (puteți aplica și transformări de-a lungul coloanelor, dar nu amestecate). După aplicarea fiecărei operații la prima matrice, aplicați aceeași operație la a doua. Când reducerea primei matrice la forma unitară este finalizată, a doua matrice va fi egală cu A−1.

Când se folosește metoda Gaussiană, prima matrice va fi înmulțită în stânga cu una dintre matricele elementare Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(transvecție sau matrice diagonală cu cele pe diagonala principală, cu excepția unei poziții):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A - 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Rightarrow \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).

A doua matrice după aplicarea tuturor operațiilor va fi egală cu Λ (\displaystyle \Lambda), adică va fi cea dorită. complexitatea algoritmului - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Folosind matricea complementului algebric

Matricea inversă a matricei A (\displaystyle A), poate fi reprezentat sub forma

A - 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Unde adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- matrice adjunctă;

Complexitatea algoritmului depinde de complexitatea algoritmului de calcul al determinantului O det și este egală cu O(n²)·O det.

Folosind descompunerea LU/LUP

Ecuația matriceală A X = eu n (\displaystyle AX=I_(n)) pentru matricea inversă X (\displaystyle X) poate fi considerată o colecție n (\displaystyle n) sisteme de formă A x = b (\displaystyle Ax=b). Să notăm i (\displaystyle i) a-a coloană a matricei X (\displaystyle X) prin X i (\displaystyle X_(i)); Apoi A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),deoarece i (\displaystyle i) a-a coloană a matricei eu n (\displaystyle I_(n)) este vectorul unitar e i (\displaystyle e_(i)). cu alte cuvinte, găsirea matricei inverse se reduce la rezolvarea n ecuații cu aceeași matrice și diferite părți din dreapta. După efectuarea descompunerii LUP (timp O(n³)), rezolvarea fiecăreia dintre ecuațiile n durează timp O(n²), deci această parte a lucrării necesită și timp O(n³).

Dacă matricea A este nesingulară, atunci descompunerea LUP poate fi calculată pentru aceasta PA = L U (\displaystyle PA=LU). Lăsa PA = B (\displaystyle PA=B), B - 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Apoi din proprietățile matricei inverse putem scrie: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Dacă înmulțiți această egalitate cu U și L, puteți obține două egalități de formă U D = L - 1 (\displaystyle UD=L^(-1))Și D L = U - 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Prima dintre aceste egalități este un sistem de n² ecuații liniare pentru n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) din care se cunosc laturile din dreapta (din proprietăţile matricelor triunghiulare). Al doilea reprezintă, de asemenea, un sistem de n² ecuații liniare pentru n (n - 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) din care se cunosc laturile din dreapta (tot din proprietatile matricelor triunghiulare). Împreună, ele reprezintă un sistem de n² egalități. Folosind aceste egalități, putem determina recursiv toate n² elemente ale matricei D. Apoi din egalitatea (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. obținem egalitatea A - 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

În cazul utilizării descompunerii LU, nu este necesară nicio permutare a coloanelor matricei D, dar soluția poate diverge chiar dacă matricea A este nesingulară.

Complexitatea algoritmului este O(n³).

Metode iterative

metodele Schultz

( Ψ k = E - A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k)),\\U_() k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

Estimarea erorii

Selectarea unei aproximări inițiale

Problema alegerii aproximării inițiale în procesele iterative de inversare a matricei luate în considerare aici nu ne permite să le tratăm ca metode universale independente care concurează cu metodele de inversare directă bazate, de exemplu, pe descompunerea LU a matricelor. Există câteva recomandări pentru alegere U 0 (\displaystyle U_(0)), asigurând îndeplinirea condiţiei ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (raza spectrală a matricei este mai mică decât unitatea), ceea ce este necesar și suficient pentru convergența procesului. Totuși, în acest caz, în primul rând, este necesar să se cunoască de mai sus estimarea pentru spectrul matricei inversabile A sau a matricei A A T (\displaystyle AA^(T))(și anume, dacă A este o matrice definită pozitivă simetrică și ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta), atunci poți lua U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Unde ; dacă A este o matrice nesingulară arbitrară și ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta), atunci ei cred U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), unde de asemenea α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Puteți, desigur, să simplificați situația și să profitați de faptul că ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), a pune U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). În al doilea rând, atunci când se specifică matricea inițială în acest fel, nu există nicio garanție că ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) va fi mic (poate chiar se va dovedi a fi ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), iar un ordin ridicat al ratei de convergență nu va fi dezvăluit imediat.

Exemple

Matrice 2x2

Nu se poate analiza expresia (eroare de sintaxă): (\displaystyle \mathbf(A)^(-1) = \begin(bmatrix) a & b \\ c & d \\ \end(bmatrix)^(-1) = \ frac (1)(\det(\mathbf(A))) \begin& \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end(bmatrix) = \frac(1)(ad - bc) \ începe (bmatrix) \,\,\,d & \!\!-b\\ -c & \,a \\ \end(bmatrix).)

Inversarea unei matrice 2x2 este posibilă numai cu condiția ca a d - b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

Pentru a rezolva sistemul de ecuații liniare (3) în raport cu x 1 Să folosim metoda Gaussiană.

Sistemele rămase de ecuații liniare (2) sunt rezolvate în mod similar.

În cele din urmă un grup de vectori coloană x 1 , x 2 , ..., x n formează matricea inversă A-1.

Rețineți că odată găsite matricele de permutare P1, P2,..., Pn-1și matrice de excepție M1, M2, ..., Mn-1(vezi pagina Metoda eliminării gaussiene) și construirea unei matrice

M=M n-1 P n-1...M2P2M1P1,

sistemul (2) poate fi transformat în forma

• MAx 1 =Me 1,
• MAx 2 =Me 2,
• ......
• MAx n =Me n .

De aici sunt x 1 ,x 2 , ..., x n, cu diferite părți din dreapta Me 1, Me 2, ..., Me n.

Când se calculează matricea inversă, este mai convenabil să se adauge o matrice de identitate în partea dreaptă a matricei originale și să se aplice metoda Gauss în direcțiile înainte și înapoi.

Să ne uităm la asta cu un exemplu.

Un exemplu de calcul al unei matrice inverse

Să presupunem că trebuie să găsim matricea inversă A-1 pentru o matrice dată A:

Să scriem matricea de identitate în partea dreaptă:

Selectați elementul principal „4” (deoarece este cel mai mare ca valoare absolută) și schimbați prima și a treia linie:

Aplicați eliminarea gaussiană la prima coloană:

Rearanjam al doilea și al treilea rând și aplicăm eliminarea gaussiană pentru a doua coloană.