மூன்றாவது வரிசையில் தீர்மானியின் விரிவாக்கம். மேட்ரிக்ஸ் டிடர்மினண்ட் ஆன்லைன். மெட்ரிக்ஸ் பற்றிய பொதுவான தகவல்கள். அடிப்படை வரையறைகள்

நிர்ணயம் என்பது சதுர மெட்ரிக்குகளுக்கு மட்டுமே கணக்கிடப்படுகிறது மற்றும் இது n வது வரிசை விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகையாகும். அதைக் கணக்கிடுவதற்கான விரிவான வழிமுறை ஒரு ஆயத்த தீர்வில் விவரிக்கப்படும், இந்த ஆன்லைன் கால்குலேட்டரில் நிபந்தனையை உள்ளிட்ட பிறகு நீங்கள் உடனடியாகப் பெறலாம். இது ஒரு விரிவான கோட்பாட்டைப் பெறுவதற்கான அணுகக்கூடிய மற்றும் எளிதான வாய்ப்பாகும், ஏனெனில் ஒவ்வொரு படியின் விரிவான விளக்கத்துடன் தீர்வு வழங்கப்படும்.

இந்த கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்துவதற்கான வழிமுறைகள் எளிமையானவை. ஆன்லைனில் மேட்ரிக்ஸ் தீர்மானிப்பவரைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் முதலில் மேட்ரிக்ஸின் அளவைத் தீர்மானிக்க வேண்டும் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கையைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும், அதன்படி, அதில் உள்ள வரிசைகள். இதைச் செய்ய, "+" அல்லது "-" ஐகானைக் கிளிக் செய்யவும். தேவையான எண்களை உள்ளிட்டு "கணக்கிடு" என்பதைக் கிளிக் செய்வது மட்டுமே மீதமுள்ளது. நீங்கள் முழு மற்றும் பகுதி எண்களை உள்ளிடலாம். கால்குலேட்டர் தேவையான அனைத்து வேலைகளையும் செய்து முடிக்கப்பட்ட முடிவை உங்களுக்கு வழங்கும்.

கணிதத்தில் நிபுணராக மாற, நீங்கள் நிறைய மற்றும் விடாமுயற்சியுடன் பயிற்சி செய்ய வேண்டும். மேலும் உங்களை மீண்டும் இருமுறை சரிபார்ப்பது ஒருபோதும் வலிக்காது. எனவே, மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பாளரைக் கணக்கிடும் பணி உங்களுக்கு வழங்கப்படும் போது, ஆன்லைன் கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்துவது நல்லது. அவர் மிக விரைவாக சமாளிப்பார், சில நொடிகளில் ஒரு ஆயத்த தீர்வு மானிட்டரில் தோன்றும். உங்களுக்கான பாரம்பரிய கணக்கீடுகளை ஆன்லைன் கால்குலேட்டர் மாற்ற வேண்டும் என்பதை இது குறிக்கவில்லை. மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான வழிமுறையைப் புரிந்துகொள்வதில் நீங்கள் ஆர்வமாக இருந்தால், அது ஒரு சிறந்த உதவியாகும். கூடுதலாக, சோதனை சரியாக முடிந்ததா என்பதைச் சரிபார்ப்பதற்கும் தோல்வியுற்ற மதிப்பீட்டிற்கு எதிராக காப்பீடு செய்வதற்கும் இது ஒரு சிறந்த வாய்ப்பாகும்.

மேட்ரிக்ஸ் தீர்மானிப்பான்

உயர் கணிதம் மற்றும் இயற்கணிதத்தில் மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பைக் கண்டறிவது மிகவும் பொதுவான பிரச்சனையாகும். ஒரு விதியாக, சமன்பாடுகளின் சிக்கலான அமைப்புகளைத் தீர்க்கும் போது மேட்ரிக்ஸ் நிர்ணயிப்பவரின் மதிப்பு இல்லாமல் ஒருவர் செய்ய முடியாது. சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான க்ரேமர் முறையானது மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவதை அடிப்படையாகக் கொண்டது. ஒரு தீர்மானிப்பவரின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, சமன்பாடுகளின் அமைப்பிற்கான ஒரு தீர்வின் இருப்பு மற்றும் தனித்துவம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. எனவே, கணிதத்தில் மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பவரை சரியாகவும் துல்லியமாகவும் கண்டறியும் திறனின் முக்கியத்துவத்தை மிகைப்படுத்தி மதிப்பிடுவது கடினம். தீர்மானிப்பவர்களைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள் கோட்பாட்டளவில் மிகவும் எளிமையானவை, ஆனால் மேட்ரிக்ஸின் அளவு அதிகரிக்கும் போது, கணக்கீடுகள் மிகவும் சிக்கலானதாகிவிடுகின்றன, மேலும் மிகுந்த கவனிப்பும் அதிக நேரமும் தேவைப்படும். இத்தகைய சிக்கலான கணிதக் கணக்கீடுகளில் ஒரு சிறிய தவறு அல்லது எழுத்துப் பிழை செய்வது மிகவும் எளிதானது, இது இறுதி விடையில் பிழைக்கு வழிவகுக்கும். எனவே நீங்கள் கண்டுபிடித்தாலும் அணி தீர்மானிப்பான்நீங்களே, முடிவை சரிபார்க்க முக்கியம். ஆன்லைனில் மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பாளரைக் கண்டறியும் எங்கள் சேவையின் மூலம் இதைச் செய்யலாம். எங்கள் சேவை எப்போதும் முற்றிலும் துல்லியமான முடிவுகளைத் தருகிறது, பிழைகள் அல்லது எழுத்தர் பிழைகள் இல்லை. நீங்கள் சுயாதீனமான கணக்கீடுகளை மறுக்கலாம், ஏனென்றால் பயன்பாட்டுக் கண்ணோட்டத்தில், கண்டுபிடிப்பு அணியை தீர்மானிப்பவர்இது இயற்கையில் கல்வி அல்ல, ஆனால் நிறைய நேரம் மற்றும் எண் கணக்கீடுகள் தேவை. எனவே, உங்கள் பணியில் இருந்தால் மேட்ரிக்ஸ் தீர்மானியின் வரையறைதுணை, பக்க கணக்கீடுகள், எங்கள் சேவையைப் பயன்படுத்தவும் மற்றும் மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பாளரை ஆன்லைனில் கண்டுபிடிக்கவும்!

அனைத்து கணக்கீடுகளும் மிக உயர்ந்த துல்லியத்துடன் தானாகவே மேற்கொள்ளப்படுகின்றன மற்றும் முற்றிலும் இலவசம். மேட்ரிக்ஸ் கூறுகளை உள்ளிடுவதற்கு எங்களிடம் மிகவும் வசதியான இடைமுகம் உள்ளது. ஆனால் எங்கள் சேவைக்கும் ஒத்த சேவைகளுக்கும் உள்ள முக்கிய வேறுபாடு விரிவான தீர்வைப் பெறுவதற்கான சாத்தியக்கூறு ஆகும். எங்கள் சேவை ஆன்லைனில் மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பைக் கணக்கிடுகிறதுஎப்போதும் எளிமையான மற்றும் குறுகிய முறையைப் பயன்படுத்துகிறது மற்றும் மாற்றங்கள் மற்றும் எளிமைப்படுத்தலின் ஒவ்வொரு படிநிலையையும் விரிவாக விவரிக்கிறது. எனவே நீங்கள் மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பாளரின் மதிப்பை மட்டுமல்ல, இறுதி முடிவையும் பெறுவீர்கள், ஆனால் முழு விரிவான தீர்வையும் பெறுவீர்கள்.

நான்காவது வரிசை அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் டிடர்மினண்டைக் கணக்கிட, வரிசை அல்லது நெடுவரிசையில் டிடர்மினண்டை விரிவாக்கலாம் அல்லது காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தலாம் மற்றும் டிடர்மினண்டை முக்கோண வடிவத்திற்குக் குறைக்கலாம். ஒரு வரிசை அல்லது நெடுவரிசையில் தீர்மானிக்கும் பொருளின் சிதைவைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பானது, நிர்ணயிப்பவரின் வரிசையின் தனிமங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமானது, அவற்றின் இயற்கணித நிரப்புகளால் பெருக்கப்படுகிறது:

மூலம் விரிவாக்கம் நான்- அந்த வரி.

மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பானது, தீர்மானிக்கும் நெடுவரிசையின் தனிமங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமானது, அவற்றின் இயற்கணித நிரப்புகளால் பெருக்கப்படுகிறது:

மூலம் விரிவாக்கம் ஜே- அந்த வரி.

மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பாளரின் சிதைவை எளிதாக்க, ஒருவர் வழக்கமாக அதிகபட்ச எண்ணிக்கையிலான பூஜ்ஜிய உறுப்புகளைக் கொண்ட வரிசை/நெடுவரிசையைத் தேர்ந்தெடுக்கிறார்.

உதாரணமாக

நான்காவது வரிசை மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

இந்த தீர்மானிக்கும் நெடுவரிசையை நெடுவரிசையாக விரிவுபடுத்துவோம் №3

ஒரு உறுப்புக்கு பதிலாக பூஜ்ஜியத்தை உருவாக்குவோம் a 4 3 =9. வரியிலிருந்து இதைச் செய்ய №4 வரியின் தொடர்புடைய கூறுகளிலிருந்து கழிக்கவும் №1 மூலம் பெருக்கப்படுகிறது 3 .
முடிவு வரியில் எழுதப்பட்டுள்ளது №4 மற்ற அனைத்து வரிகளும் மாற்றங்கள் இல்லாமல் மீண்டும் எழுதப்படுகின்றன.

எனவே அனைத்து உறுப்புகளையும் பூஜ்ஜியமாக மாற்றினோம் a 1 3 = 3நெடுவரிசையில் № 3 . இப்போது இந்த நெடுவரிசையின் பின்னால் உள்ள தீர்மானிப்பாளரின் மேலும் விரிவாக்கத்திற்கு நாம் செல்லலாம்.

என்ற சொல்லை மட்டும் பார்க்கிறோம் №1 பூஜ்ஜியமாக மாறாது, மற்ற எல்லா சொற்களும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும், ஏனெனில் அவை பூஜ்ஜியத்தால் பெருக்கப்படுகின்றன.
இதன் பொருள், நாம் ஒரே ஒரு தீர்மானத்தை மட்டும் விரிவாக்க வேண்டும்:

இந்த தீர்மானிக்கும் வரிசையை வரிசையாக விரிவுபடுத்துவோம் №1 . மேலும் கணக்கீடுகளை எளிதாக்க சில மாற்றங்களைச் செய்வோம்.

இந்த வரிசையில் இரண்டு ஒத்த எண்கள் இருப்பதைக் காண்கிறோம், எனவே நெடுவரிசையிலிருந்து கழிப்போம் №3 நெடுவரிசை №2 , மற்றும் பத்தியில் முடிவை எழுதவும் №3 , இது தீர்மானிப்பவரின் மதிப்பை மாற்றாது.

அடுத்து நாம் ஒரு உறுப்புக்கு பதிலாக பூஜ்ஜியத்தை உருவாக்க வேண்டும் a 1 2 =4. இதற்கு எங்களிடம் நெடுவரிசை கூறுகள் உள்ளன №2 மூலம் பெருக்கவும் 3 அதிலிருந்து தொடர்புடைய நெடுவரிசை கூறுகளைக் கழிக்கவும் №1 மூலம் பெருக்கப்படுகிறது 4 . முடிவு பத்தியில் எழுதப்பட்டுள்ளது №2 மற்ற அனைத்து நெடுவரிசைகளும் மாற்றங்கள் இல்லாமல் மீண்டும் எழுதப்படுகின்றன.

ஆனால் நாம் ஒரு நிரலை பெருக்கினால் என்பதை மறந்துவிடக் கூடாது №2 அன்று 3 , பின்னர் முழு தீர்மானிப்பான் அதிகரிக்கும் 3 . மேலும் அது மாறாமல் இருக்க, அது பிரிக்கப்பட வேண்டும் என்று அர்த்தம் 3 .

லாப்லேஸ் தேற்றத்தை நினைவு கூர்வோம்:
லாப்லேஸ் தேற்றம்:

k வரிசைகள் (அல்லது k நெடுவரிசைகள்) தன்னிச்சையாக n வரிசையின் தீர்மானிப்பதில் தேர்ந்தெடுக்கப்படட்டும். தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வரிசைகளில் உள்ள அனைத்து kth வரிசை மைனர்களின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் அவற்றின் இயற்கணித நிரப்புதல்கள் தீர்மானிப்பான் d க்கு சமம்.

தீர்மானிப்பவர்களைக் கணக்கிட, பொது வழக்கில், k 1க்கு சமமாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது. அதாவது, n வரிசையின் தீர்மானிப்பான் d இல், ஒரு வரிசை (அல்லது நெடுவரிசை) தன்னிச்சையாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது. தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வரிசை (அல்லது நெடுவரிசை) மற்றும் அவற்றின் இயற்கணித நிரப்புகளில் உள்ள அனைத்து உறுப்புகளின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை தீர்மானிப்பான் d க்கு சமம்.

உதாரணமாக:
கணக்கீடு தீர்மானிப்பான்

தீர்வு:

தன்னிச்சையான வரிசை அல்லது நெடுவரிசையைத் தேர்ந்தெடுப்போம். சிறிது நேரம் கழித்து தெளிவாகத் தெரியும் ஒரு காரணத்திற்காக, எங்கள் விருப்பத்தை மூன்றாவது வரிசை அல்லது நான்காவது நெடுவரிசைக்கு வரம்பிடுவோம். மூன்றாவது வரியில் நிறுத்துவோம்.

லாப்லேஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.

தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வரிசையின் முதல் உறுப்பு 10 ஆகும், இது மூன்றாவது வரிசை மற்றும் முதல் நெடுவரிசையில் தோன்றும். அதற்கு இயற்கணித நிரப்புதலைக் கணக்கிடுவோம், அதாவது. இந்த உறுப்பு நிற்கும் நெடுவரிசை மற்றும் வரிசையைக் கடப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட தீர்மானிப்பைக் கண்டுபிடித்து (10) அடையாளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்.

"கூடுதலாக மைனர் M அமைந்துள்ள அனைத்து வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் எண்களின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருந்தால், இந்த தொகை ஒற்றைப்படையாக இருந்தால் கழித்தல்."
மூன்றாவது வரிசையின் முதல் நெடுவரிசையில் உள்ள ஒற்றை உறுப்பு 10 ஐக் கொண்ட சிறியதை நாங்கள் எடுத்தோம்.

அதனால்:

இந்தத் தொகையின் நான்காவது சொல் 0 ஆகும், அதனால்தான் அதிகபட்ச பூஜ்ஜிய உறுப்புகள் கொண்ட வரிசைகள் அல்லது நெடுவரிசைகளைத் தேர்ந்தெடுப்பது மதிப்பு.

பதில்: -1228

உதாரணமாக:
தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுங்கள்:

தீர்வு:
முதல் நெடுவரிசையைத் தேர்ந்தெடுப்போம், ஏனெனில்... அதில் உள்ள இரண்டு கூறுகள் 0 க்கு சமம். முதல் நெடுவரிசையில் தீர்மானிப்பதை விரிவாக்குவோம்.

முதல் இரண்டாவது வரிசையில் மூன்றாவது-வரிசை தீர்மானிப்பான்கள் ஒவ்வொன்றையும் விரிவுபடுத்துகிறோம்

முதல் நெடுவரிசையுடன் இரண்டாவது வரிசை தீர்மானிப்பான்கள் ஒவ்வொன்றையும் விரிவுபடுத்துகிறோம்

பதில்: 48
கருத்து:இந்தச் சிக்கலைத் தீர்க்கும் போது, 2வது மற்றும் 3வது ஆர்டர்களின் தீர்மானிப்பாளர்களைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்படவில்லை. வரிசை அல்லது நெடுவரிசை சிதைவு மட்டுமே பயன்படுத்தப்பட்டது. இது தீர்மானிப்பவர்களின் வரிசையில் குறைவதற்கு வழிவகுக்கிறது.

சிக்கலை உருவாக்குதல்

பணியானது, எண்ணியல் முறைகளின் அடிப்படைக் கருத்துகளான நிர்ணயம் மற்றும் தலைகீழ் அணி மற்றும் அவற்றைக் கணக்கிடுவதற்கான பல்வேறு வழிகள் ஆகியவற்றைப் பயனர் நன்கு அறிந்திருக்க வேண்டும். இந்த கோட்பாட்டு அறிக்கை முதலில் அடிப்படைக் கருத்துகள் மற்றும் வரையறைகளை எளிய மற்றும் அணுகக்கூடிய மொழியில் அறிமுகப்படுத்துகிறது, அதன் அடிப்படையில் மேலும் ஆராய்ச்சி மேற்கொள்ளப்படுகிறது. எண் முறைகள் மற்றும் நேரியல் இயற்கணிதம் துறையில் பயனருக்கு சிறப்பு அறிவு இல்லாமல் இருக்கலாம், ஆனால் இந்த வேலையின் முடிவுகளை எளிதாகப் பயன்படுத்தலாம். தெளிவுக்காக, சி++ நிரலாக்க மொழியில் எழுதப்பட்ட பல முறைகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு நிரல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. அறிக்கைக்கான விளக்கப்படங்களை உருவாக்குவதற்கான ஆய்வக நிலைப்பாடாக நிரல் பயன்படுத்தப்படுகிறது. நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள் பற்றிய ஆய்வும் நடத்தப்படுகிறது. தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கணக்கிடுவதில் பயனற்றது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, எனவே சமன்பாடுகளைக் கணக்கிடாமல் தீர்க்க வேலை மிகவும் உகந்த வழிகளை வழங்குகிறது. தீர்மானிப்பவர்கள் மற்றும் தலைகீழ் மெட்ரிக்ஸைக் கணக்கிடுவதற்கு பல்வேறு முறைகள் ஏன் உள்ளன என்பதை விளக்குகிறது மற்றும் அவற்றின் குறைபாடுகளை விவாதிக்கிறது. தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவதில் உள்ள பிழைகளும் பரிசீலிக்கப்பட்டு அடையப்பட்ட துல்லியம் மதிப்பிடப்படுகிறது. ரஷ்ய சொற்களுக்கு மேலதிகமாக, நூலகங்களில் உள்ள எண் நடைமுறைகளை எந்தப் பெயர்களில் பார்க்க வேண்டும் மற்றும் அவற்றின் அளவுருக்கள் என்ன என்பதைப் புரிந்துகொள்வதற்கு, வேலை அவற்றின் ஆங்கில சமமானவற்றைப் பயன்படுத்துகிறது.

அடிப்படை வரையறைகள் மற்றும் எளிமையான பண்புகள்

தீர்மானிப்பவர்

எந்த வரிசையின் சதுர மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பாளரின் வரையறையை அறிமுகப்படுத்துவோம். இந்த வரையறை இருக்கும் மீண்டும் மீண்டும், அதாவது, ஆர்டர் மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் என்ன என்பதை நிறுவ, ஆர்டர் மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் என்ன என்பதை நீங்கள் ஏற்கனவே அறிந்திருக்க வேண்டும். சதுர மெட்ரிக்குகளுக்கு மட்டுமே தீர்மானிப்பான் உள்ளது என்பதையும் கவனத்தில் கொள்ளவும்.

ஒரு சதுர மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் by அல்லது det என்பதைக் குறிப்போம்.

வரையறை 1. தீர்மானிப்பவர்சதுர அணி இரண்டாவது வரிசை எண் அழைக்கப்படுகிறது .

தீர்மானிப்பவர் வரிசையின் சதுர அணி, எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது

எண் கொண்ட முதல் வரிசை மற்றும் நெடுவரிசையை நீக்குவதன் மூலம் அணியிலிருந்து பெறப்பட்ட ஆர்டர் மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் எங்கே.

தெளிவுக்காக, நான்காவது வரிசை மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பதை எவ்வாறு கணக்கிடலாம் என்பதை எழுதுவோம்:

கருத்து.வரையறையின் அடிப்படையில் மூன்றாவது வரிசைக்கு மேலே உள்ள மெட்ரிக்குகளுக்கான நிர்ணயிப்பாளர்களின் உண்மையான கணக்கீடு விதிவிலக்கான சந்தர்ப்பங்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. பொதுவாக, கணக்கீடு பிற வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்படுகிறது, இது பின்னர் விவாதிக்கப்படும் மற்றும் குறைந்த கணக்கீட்டு வேலை தேவைப்படும்.

கருத்து.வரையறை 1 இல், நிர்ணயம் என்பது வரிசையின் சதுர மெட்ரிக்குகளின் தொகுப்பில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு செயல்பாடு மற்றும் எண்களின் தொகுப்பில் மதிப்புகளை எடுப்பது என்று சொல்வது மிகவும் துல்லியமாக இருக்கும்.

கருத்து.இலக்கியத்தில், "நிர்ணயிப்பவர்" என்ற வார்த்தைக்கு பதிலாக, "நிர்ணயிப்பவர்" என்ற வார்த்தையும் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது அதே பொருளைக் கொண்டுள்ளது. "நிர்ணயிப்பவர்" என்ற வார்த்தையிலிருந்து det என்ற பதவி தோன்றியது.

தீர்மானிப்பவர்களின் சில பண்புகளை நாம் கருத்தில் கொள்வோம், அதை நாம் அறிக்கைகள் வடிவில் உருவாக்குவோம்.

அறிக்கை 1.மேட்ரிக்ஸை இடமாற்றம் செய்யும் போது, தீர்மானிப்பான் மாறாது, அதாவது, .

அறிக்கை 2.சதுர மெட்ரிக்குகளின் பெருக்கத்தின் நிர்ணயிப்பானது, காரணிகளின் நிர்ணயிப்பாளர்களின் பெருக்கத்திற்கு சமம், அதாவது.

அறிக்கை 3.மேட்ரிக்ஸில் இரண்டு வரிசைகள் மாற்றப்பட்டால், அதன் நிர்ணயம் குறியை மாற்றும்.

அறிக்கை 4.மேட்ரிக்ஸில் ஒரே மாதிரியான இரண்டு வரிசைகள் இருந்தால், அதன் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியமாகும்.

எதிர்காலத்தில், நாம் சரங்களைச் சேர்த்து, ஒரு சரத்தை எண்ணால் பெருக்க வேண்டும். இந்த செயல்களை வரிசை மெட்ரிக்குகளில் (நெடுவரிசை மெட்ரிக்குகள்) செய்வது போலவே வரிசைகளில் (நெடுவரிசைகள்) செய்வோம், அதாவது உறுப்பு மூலம் உறுப்பு. இதன் விளைவாக ஒரு வரிசை (நெடுவரிசை) இருக்கும், இது ஒரு விதியாக, அசல் மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகளுடன் ஒத்துப்போவதில்லை. வரிசைகளை (நெடுவரிசைகள்) சேர்த்து அவற்றை எண்ணால் பெருக்கும் செயல்பாடுகள் இருந்தால், வரிசைகளின் (நெடுவரிசைகள்) நேரியல் சேர்க்கைகள் பற்றி பேசலாம், அதாவது எண் குணகங்களுடன் கூடிய தொகைகள்.

அறிக்கை 5.மேட்ரிக்ஸின் ஒரு வரிசையை எண்ணால் பெருக்கினால், அதன் நிர்ணயம் இந்த எண்ணால் பெருக்கப்படும்.

அறிக்கை 6.மேட்ரிக்ஸில் பூஜ்ஜிய வரிசை இருந்தால், அதன் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியமாகும்.

அறிக்கை 7.மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகளில் ஒன்று மற்றொன்றுக்கு சமமாக இருந்தால், ஒரு எண்ணால் பெருக்கப்பட்டால் (வரிசைகள் விகிதாசாரமாக இருக்கும்), பின்னர் மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

அறிக்கை 8.மேட்ரிக்ஸில் உள்ள i-வது வரிசையில் படிவம் இருக்கட்டும். பின்னர், i-வது வரிசையை வரிசையுடன் மாற்றுவதன் மூலம் மேட்ரிக்ஸிலிருந்து அணி பெறப்படும் இடத்தில், i-th வரிசையை வரிசையுடன் மாற்றுவதன் மூலம் அணி பெறப்படுகிறது.

அறிக்கை 9.மேட்ரிக்ஸ் வரிசைகளில் ஒன்றில் மற்றொரு வரிசையைச் சேர்த்தால், ஒரு எண்ணால் பெருக்கப்பட்டால், மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் மாறாது.

அறிக்கை 10.மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகளில் ஒன்று அதன் மற்ற வரிசைகளின் நேரியல் கலவையாக இருந்தால், மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

வரையறை 2. இயற்கணித நிரப்புமேட்ரிக்ஸ் உறுப்புக்கு சமமான எண், ஐ-வது வரிசை மற்றும் ஜே-வது நெடுவரிசையை நீக்குவதன் மூலம் மேட்ரிக்ஸிலிருந்து பெறப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான். மேட்ரிக்ஸ் தனிமத்தின் இயற்கணித நிரப்பு ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

உதாரணமாக.விடுங்கள் . பிறகு

கருத்து.இயற்கணிதக் கூட்டல்களைப் பயன்படுத்தி, 1 தீர்மானிப்பவரின் வரையறையை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

அறிக்கை 11. ஒரு தன்னிச்சையான சரத்தில் தீர்மானியின் விரிவாக்கம்.

மேட்ரிக்ஸை தீர்மானிப்பதற்கான சூத்திரம்

உதாரணமாக.கணக்கிடு .

தீர்வு.மூன்றாவது வரியில் விரிவாக்கத்தைப் பயன்படுத்துவோம், இது மிகவும் லாபகரமானது, ஏனெனில் மூன்றாவது வரியில் மூன்று எண்களில் இரண்டு பூஜ்ஜியங்கள். நாம் பெறுகிறோம்

அறிக்கை 12.வரிசையின் சதுர அணிக்கு, தொடர்பு உள்ளது: .

அறிக்கை 13.வரிசைகளுக்கு (அறிக்கைகள் 1 - 11) வடிவமைக்கப்பட்ட தீர்மானிப்பாளரின் அனைத்து பண்புகள் நெடுவரிசைகளுக்கும் செல்லுபடியாகும், குறிப்பாக, j-வது நெடுவரிசையில் உள்ள நிர்ணயிப்பாளரின் சிதைவு செல்லுபடியாகும். மற்றும் சமத்துவம் மணிக்கு.

அறிக்கை 14.முக்கோண மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் அதன் முக்கிய மூலைவிட்டத்தின் உறுப்புகளின் தயாரிப்புக்கு சமம்.

விளைவு.அடையாள மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் ஒன்றுக்கு சமம், .

முடிவுரை.மேலே பட்டியலிடப்பட்டுள்ள பண்புகள் ஒப்பீட்டளவில் சிறிய அளவிலான கணக்கீடுகளுடன் போதுமான உயர் ஆர்டர்களின் மெட்ரிக்குகளை நிர்ணயிப்பதைக் கண்டறிய உதவுகிறது. கணக்கீட்டு அல்காரிதம் பின்வருமாறு.

ஒரு நெடுவரிசையில் பூஜ்ஜியங்களை உருவாக்குவதற்கான அல்காரிதம்.வரிசையை தீர்மானிப்பதை நாம் கணக்கிட வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். என்றால், முதல் வரியையும், முதல் உறுப்பு பூஜ்ஜியமாக இல்லாத வேறு எந்த வரியையும் மாற்றவும். இதன் விளைவாக, தீர்மானிப்பான் , எதிர் அடையாளத்துடன் புதிய மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பாளுக்கு சமமாக இருக்கும். ஒவ்வொரு வரிசையின் முதல் உறுப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், மேட்ரிக்ஸில் பூஜ்ஜிய நெடுவரிசை உள்ளது மற்றும் 1, 13 அறிக்கைகளின்படி, அதன் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

எனவே, ஏற்கனவே அசல் மேட்ரிக்ஸில் இருப்பதாக நாங்கள் நம்புகிறோம். முதல் வரியை மாற்றாமல் விடுகிறோம். எண்ணால் பெருக்கப்படும் முதல் வரியை இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கவும். பின்னர் இரண்டாவது வரியின் முதல் உறுப்பு சமமாக இருக்கும் .

புதிய இரண்டாவது வரிசையின் மீதமுள்ள கூறுகளை , மூலம் குறிக்கிறோம். அறிக்கை 9 இன் படி புதிய மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் சமம். முதல் வரியை எண்ணால் பெருக்கி மூன்றாவது வரியில் சேர்க்கவும். புதிய மூன்றாவது வரியின் முதல் உறுப்பு சமமாக இருக்கும்

புதிய மூன்றாவது வரிசையின் மீதமுள்ள கூறுகளை , மூலம் குறிக்கிறோம். அறிக்கை 9 இன் படி புதிய மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் சமம்.

வரிகளின் முதல் கூறுகளுக்குப் பதிலாக பூஜ்ஜியங்களைப் பெறுவதற்கான செயல்முறையைத் தொடருவோம். இறுதியாக, முதல் வரியை ஒரு எண்ணால் பெருக்கி கடைசி வரியில் சேர்க்கவும். இதன் விளைவாக ஒரு அணி, அதைக் குறிக்கலாம், இது வடிவம் கொண்டது

மற்றும் . மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பைக் கணக்கிட, முதல் நெடுவரிசையில் விரிவாக்கத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்

அன்றிலிருந்து

வலது பக்கத்தில் ஆர்டர் மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் உள்ளது. அதே அல்காரிதத்தை நாங்கள் அதற்குப் பயன்படுத்துகிறோம், மேலும் மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பைக் கணக்கிடுவது ஆர்டர் மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பைக் கணக்கிடுவதாகக் குறைக்கப்படும். வரையறையின்படி கணக்கிடப்படும் இரண்டாம்-வரிசை தீர்மானிப்பவரை அடையும் வரை செயல்முறையை மீண்டும் செய்கிறோம்.

மேட்ரிக்ஸில் குறிப்பிட்ட பண்புகள் இல்லை என்றால், முன்மொழியப்பட்ட வழிமுறையுடன் ஒப்பிடும்போது கணக்கீடுகளின் அளவைக் கணிசமாகக் குறைக்க முடியாது. இந்த வழிமுறையின் மற்றொரு நல்ல அம்சம் என்னவென்றால், பெரிய ஆர்டர்களின் மெட்ரிக்குகளை நிர்ணயிப்பதைக் கணக்கிடுவதற்கான கணினி நிரலை உருவாக்க இதைப் பயன்படுத்துவது எளிது. கணினி கணக்கீடுகளில் ரவுண்டிங் பிழைகள் மற்றும் உள்ளீட்டு தரவு பிழைகளின் செல்வாக்கைக் குறைப்பது தொடர்பான சிறிய மாற்றங்களுடன், தீர்மானிப்பவர்களைக் கணக்கிடுவதற்கான நிலையான நிரல்கள் இந்த அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்துகின்றன.

உதாரணமாக.மேட்ரிக்ஸின் கணக்கீட்டு தீர்மானிப்பான் .

தீர்வு.முதல் வரியை மாற்றாமல் விடுகிறோம். இரண்டாவது வரியில், எண்ணால் பெருக்கப்படும் முதல் வரியைச் சேர்க்கிறோம்:

தீர்மானிப்பவர் மாறாது. மூன்றாவது வரியில் முதல் வரியைச் சேர்க்கிறோம், எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது:

தீர்மானிப்பவர் மாறாது. நான்காவது வரியில் முதல் வரியைச் சேர்க்கிறோம், எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது:

தீர்மானிப்பவர் மாறாது. இதன் விளைவாக நாம் பெறுகிறோம்

அதே அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி, வலதுபுறத்தில் அமைந்துள்ள வரிசை 3 இன் மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுகிறோம். முதல் வரியை மாற்றாமல் விட்டுவிடுகிறோம், முதல் வரியை எண்ணால் பெருக்கி இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கவும் :

மூன்றாவது வரியில், எண்ணால் பெருக்கப்படும் முதல் வரியைச் சேர்க்கிறோம் :

இதன் விளைவாக நாம் பெறுகிறோம்

பதில். .

கருத்து.கணக்கீடுகளில் பின்னங்கள் பயன்படுத்தப்பட்டாலும், முடிவு முழு எண்ணாக மாறியது. உண்மையில், தீர்மானிப்பவர்களின் பண்புகள் மற்றும் அசல் எண்கள் முழு எண்கள் என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்தி, பின்னங்களைக் கொண்ட செயல்பாடுகளைத் தவிர்க்கலாம். ஆனால் பொறியியல் நடைமுறையில், எண்கள் மிகவும் அரிதாக முழு எண்களாக இருக்கும். எனவே, ஒரு விதியாக, தீர்மானிப்பவரின் கூறுகள் தசம பின்னங்களாக இருக்கும் மற்றும் கணக்கீடுகளை எளிமைப்படுத்த எந்த தந்திரங்களையும் பயன்படுத்துவது பொருத்தமற்றது.

தலைகீழ் அணி

வரையறை 3.அணி அழைக்கப்படுகிறது தலைகீழ் அணிஒரு சதுர அணிக்கு, என்றால் .

தலைகீழ் அணி என்பது மேட்ரிக்ஸின் அதே வரிசையின் சதுர மேட்ரிக்ஸாக இருக்கும் (இல்லையெனில் தயாரிப்புகளில் ஒன்று அல்லது வரையறுக்கப்படாது) என்பது வரையறையில் இருந்து பின்வருமாறு.

மேட்ரிக்ஸின் தலைகீழ் ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. இவ்வாறு, இருந்தால், பின்னர் .

தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸின் வரையறையிலிருந்து, அணி என்பது மேட்ரிக்ஸின் தலைகீழ், அதாவது, . மெட்ரிக்குகளைப் பற்றி அவை ஒன்றுக்கொன்று தலைகீழ் அல்லது பரஸ்பர தலைகீழ் என்று நாம் கூறலாம்.

மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், அதன் தலைகீழ் இல்லை.

தலைகீழ் அணியைக் கண்டறிய, மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமானதா இல்லையா என்பது முக்கியம் என்பதால், பின்வரும் வரையறைகளை அறிமுகப்படுத்துகிறோம்.

வரையறை 4.சதுர அணியை அழைப்போம் சீரழியும்அல்லது சிறப்பு அணி, என்றால் சிதையாதஅல்லது ஒருமை அல்லாத அணி, என்றால்.

அறிக்கை.தலைகீழ் அணி இருந்தால், அது தனித்துவமானது.

அறிக்கை.ஒரு சதுர அணி ஒருமை அல்லாதது என்றால், அதன் தலைகீழ் உள்ளது மற்றும் (1) உறுப்புகளுக்கு இயற்கணித நிரப்பிகள் எங்கே.

தேற்றம்.ஒரு சதுர அணிக்கு ஒரு தலைகீழ் அணி உள்ளது மற்றும் அணி ஒருமை அல்ல, தலைகீழ் அணி தனித்துவமானது மற்றும் சூத்திரம் (1) செல்லுபடியாகும்.

கருத்து.தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸ் சூத்திரத்தில் இயற்கணிதக் கூட்டல்களால் ஆக்கிரமிக்கப்பட்ட இடங்களுக்கு குறிப்பிட்ட கவனம் செலுத்தப்பட வேண்டும்: முதல் குறியீடு எண்ணைக் காட்டுகிறது நெடுவரிசை, மற்றும் இரண்டாவது எண் கோடுகள், இதில் நீங்கள் கணக்கிடப்பட்ட இயற்கணிதக் கூட்டலை எழுத வேண்டும்.

உதாரணமாக. .

தீர்வு.தீர்மானிப்பதைக் கண்டறிதல்

, பின்னர் அணி சிதைவடையாதது மற்றும் அதன் தலைகீழ் உள்ளது. இயற்கணித நிரப்புகளைக் கண்டறிதல்:

நாம் தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸை உருவாக்குகிறோம், கண்டுபிடிக்கப்பட்ட இயற்கணித சேர்த்தல்களை வைப்பதன் மூலம் முதல் குறியீடு நெடுவரிசைக்கும், இரண்டாவது வரிசைக்கும் ஒத்திருக்கும்: (2)

இதன் விளைவாக வரும் மேட்ரிக்ஸ் (2) சிக்கலுக்கு விடையாக செயல்படுகிறது.

கருத்து.முந்தைய எடுத்துக்காட்டில், இதுபோன்ற பதிலை எழுதுவது மிகவும் துல்லியமாக இருக்கும்:
(3)

இருப்பினும், குறியீடு (2) மிகவும் கச்சிதமானது மற்றும் தேவைப்பட்டால், அதனுடன் மேலும் கணக்கீடுகளை மேற்கொள்வது மிகவும் வசதியானது. எனவே, மேட்ரிக்ஸ் கூறுகள் முழு எண்களாக இருந்தால், படிவத்தில் (2) பதிலை எழுதுவது விரும்பத்தக்கது. மற்றும் நேர்மாறாக, மேட்ரிக்ஸின் கூறுகள் தசம பின்னங்களாக இருந்தால், தலைகீழ் அணியை முன் காரணி இல்லாமல் எழுதுவது நல்லது.

கருத்து.தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டுபிடிக்கும் போது, நீங்கள் நிறைய கணக்கீடுகளைச் செய்ய வேண்டும் மற்றும் இறுதி மேட்ரிக்ஸில் இயற்கணித சேர்த்தல்களை ஏற்பாடு செய்வதற்கான விதி அசாதாரணமானது. எனவே, பிழையின் அதிக நிகழ்தகவு உள்ளது. பிழைகளைத் தவிர்க்க, நீங்கள் சரிபார்க்க வேண்டும்: அசல் மேட்ரிக்ஸின் தயாரிப்பு மற்றும் இறுதி மேட்ரிக்ஸை ஒரு வரிசையில் அல்லது மற்றொரு வரிசையில் கணக்கிடுங்கள். இதன் விளைவாக ஒரு அடையாள அணி எனில், தலைகீழ் அணி சரியாகக் கண்டறியப்பட்டது. இல்லையெனில், நீங்கள் பிழையைத் தேட வேண்டும்.

உதாரணமாக.மேட்ரிக்ஸின் தலைகீழ் நிலையைக் கண்டறியவும் .

தீர்வு. - உள்ளது.

பதில்: .

முடிவுரை.சூத்திரம் (1) ஐப் பயன்படுத்தி தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டறிவதற்கு பல கணக்கீடுகள் தேவை. நான்காவது வரிசை மற்றும் அதற்கு மேற்பட்ட மெட்ரிக்குகளுக்கு, இது ஏற்றுக்கொள்ள முடியாதது. தலைகீழ் அணியைக் கண்டறிவதற்கான உண்மையான அல்காரிதம் பின்னர் கொடுக்கப்படும்.