Proširivanje determinante u treći red. Matrična determinanta online. Opće informacije o matricama. Osnovne definicije

Determinanta se izračunava samo za kvadratne matrice i zbir je članova n-tog reda. Detaljan algoritam za njegovo izračunavanje bit će opisan u gotovom rješenju, koje možete dobiti odmah nakon unosa uvjeta u ovaj online kalkulator. Ovo je pristupačna i laka prilika da dobijete detaljnu teoriju, jer će rješenje biti predstavljeno sa detaljnim objašnjenjem svakog koraka.

Upute za korištenje ovog kalkulatora su jednostavne. Da biste pronašli determinantu matrice na mreži, prvo morate odlučiti o veličini matrice i odabrati broj stupaca i, shodno tome, redova u njoj. Da biste to učinili, kliknite na ikonu “+” ili “-”. Ostaje samo da unesete tražene brojeve i kliknete na "Izračunaj". Možete unijeti i cijele i razlomke. Kalkulator će obaviti sve potrebne poslove i dati vam gotov rezultat.

Da biste postali stručnjak za matematiku, morate puno i uporno vježbati. I nikad ne škodi da se još jednom provjerite. Stoga, kada dobijete zadatak da izračunate determinantu matrice, preporučljivo je koristiti online kalkulator. On će se vrlo brzo snaći, a za nekoliko sekundi na monitoru će se pojaviti gotovo rješenje. To ne znači da bi online kalkulator trebao zamijeniti tradicionalne proračune umjesto vas. Ali to je odlična pomoć ako ste zainteresirani za razumijevanje algoritma za izračunavanje determinante matrice. Osim toga, ovo je odlična prilika da provjerite da li je test pravilno obavljen i da se osigurate od neuspjele procjene.

Matrična determinanta

Pronalaženje determinante matrice je vrlo čest problem u višoj matematici i algebri. U pravilu se ne može bez vrijednosti matrične determinante pri rješavanju složenih sistema jednačina. Cramerova metoda za rješavanje sistema jednačina zasniva se na izračunavanju determinante matrice. Koristeći definiciju determinante, utvrđuje se prisustvo i jedinstvenost rješenja sistema jednačina. Stoga je teško precijeniti važnost sposobnosti da se pravilno i tačno pronađe determinanta matrice u matematici. Metode za rješavanje determinanti su teoretski prilično jednostavne, ali kako se veličina matrice povećava, proračuni postaju vrlo glomazni i zahtijevaju veliku pažnju i puno vremena. U ovako složenim matematičkim proračunima vrlo je lako napraviti manju grešku ili grešku u kucanju, što će dovesti do greške u konačnom odgovoru. Pa čak i ako nađeš matrična determinanta sami, važno je provjeriti rezultat. To se može učiniti pomoću naše usluge Pronalaženje determinante matrice na mreži. Naša usluga uvijek daje apsolutno tačne rezultate, bez grešaka ili tehničkih grešaka. Možete odbiti nezavisne proračune, jer sa primijenjene tačke gledišta, pronalaženje determinanta matrice Nije edukativne prirode, već jednostavno zahtijeva puno vremena i numeričkih proračuna. Stoga, ako je u vašem zadatku definicija matrične determinante su pomoćni, bočni proračuni, koristite našu uslugu i pronađite determinantu matrice na mreži!

Svi proračuni se izvode automatski s najvećom preciznošću i potpuno su besplatni. Imamo veoma zgodan interfejs za unos matričnih elemenata. Ali glavna razlika između naše usluge i sličnih je mogućnost dobijanja detaljnog rješenja. Naša usluga na izračunavanje determinante matrice na mreži uvijek koristi najjednostavniji i najkraći metod i detaljno opisuje svaki korak transformacija i pojednostavljenja. Tako dobijate ne samo vrijednost determinante matrice, konačni rezultat, već i cijelo detaljno rješenje.

Da biste izračunali determinantu matrice četvrtog reda ili višeg, možete proširiti determinantu duž reda ili stupca ili primijeniti Gaussovu metodu i svesti determinantu na trokutni oblik. Razmotrimo dekompoziciju determinante u red ili kolonu.

Determinanta matrice jednaka je zbroju elemenata reda determinante pomnoženim njihovim algebarskim komplementama:

Expansion by i- ta linija.

Determinanta matrice jednaka je zbroju elemenata kolone determinante pomnoženim njihovim algebarskim komplementama:

Expansion by j- ta linija.

Da bi se olakšala dekompozicija determinante matrice, obično se bira red/kolona koji ima maksimalan broj nula elemenata.

Primjer

Nađimo determinantu matrice četvrtog reda.

Proširićemo ovu determinantu kolonu po kolonu №3

Napravimo nulu umjesto elementa a 4 3 =9. Da biste to uradili sa linije №4 oduzmite od odgovarajućih elemenata linije №1 pomnoženo sa 3 .
Rezultat je upisan u liniji №4 Svi ostali redovi se prepisuju bez izmjena.

Tako smo sve elemente napravili nulama, osim a 1 3 = 3 u koloni № 3 . Sada možemo preći na dalje proširenje determinante iza ove kolone.

Vidimo da je samo termin №1 ne pretvori se u nulu, svi ostali pojmovi će biti nuli, pošto se množe sa nulom.
To znači da dalje trebamo proširiti samo jednu determinantu:

Proširićemo ovu determinantu red po red №1 . Napravimo neke transformacije kako bismo olakšali dalje proračune.

Vidimo da se u ovom redu nalaze dva identična broja, pa oduzimamo od kolone №3 kolona №2 , i upišite rezultat u kolonu №3 , ovo neće promijeniti vrijednost determinante.

Zatim moramo napraviti nulu umjesto elementa a 1 2 =4. Za ovo imamo elemente stupaca №2 pomnoži sa 3 i oduzmite od njega odgovarajuće elemente kolone №1 pomnoženo sa 4 . Rezultat se upisuje u kolonu №2 Sve ostale kolone se prepisuju bez izmjena.

Ali to ne smijemo zaboraviti ako množimo stupac №2 on 3 , tada će se cijela determinanta povećati za 3 . A da se ne mijenja, znači da se mora podijeliti na 3 .

Podsjetimo se Laplaceove teoreme:
Laplaceova teorema:

Neka je k redova (ili k kolona) proizvoljno odabrano u determinanti d reda n. Tada je zbir proizvoda svih minora k-tog reda sadržanih u odabranim redovima i njihovih algebarskih komplementa jednak determinanti d.

Za izračunavanje determinanti, u opštem slučaju, k se uzima jednako 1. To jest, u determinanti d reda n, red (ili kolona) se bira proizvoljno. Tada je zbir proizvoda svih elemenata sadržanih u odabranom redu (ili koloni) i njihovih algebarskih komplementa jednak determinanti d.

primjer:
Izračunaj determinantu

Rješenje:

Odaberimo proizvoljan red ili kolonu. Iz razloga koji će postati očigledan malo kasnije, ograničit ćemo naš izbor na treći red ili četvrti stupac. I hajde da se zaustavimo na trećoj liniji.

Koristimo Laplaceov teorem.

Prvi element odabranog reda je 10, pojavljuje se u trećem redu i prvoj koloni. Izračunajmo mu algebarski komplement, tj. Nađimo determinantu koja se dobije precrtavanjem kolone i reda na kojima ovaj element stoji (10) i saznajmo znak.

„plus ako je zbir brojeva svih redova i kolona u kojima se nalazi minor M paran, i minus ako je ovaj zbir neparan.”
I uzeli smo minor, koji se sastoji od jednog elementa 10, koji se nalazi u prvoj koloni trećeg reda.

dakle:

Četvrti član ove sume je 0, zbog čega je vredno izabrati redove ili kolone sa maksimalnim brojem nula elemenata.

odgovor: -1228

primjer:
Izračunaj determinantu:

Rješenje:
Odaberimo prvu kolonu, jer... dva elementa u njemu jednaka su 0. Proširimo determinantu duž prvog stupca.

Proširujemo svaku od determinanti trećeg reda duž prvog drugog reda

Proširujemo svaku od determinanti drugog reda duž prvog stupca

odgovor: 48
komentar: pri rješavanju ovog problema nisu korištene formule za izračunavanje determinanti 2. i 3. reda. Korištena je samo dekompozicija reda ili stupca. Što dovodi do smanjenja reda determinanti.

Formulacija problema

Zadatak zahtjeva od korisnika da se upozna sa osnovnim konceptima numeričkih metoda, kao što su determinanta i inverzna matrica, te različitim načinima njihovog izračunavanja. Ovaj teorijski izvještaj najprije uvodi osnovne pojmove i definicije jednostavnim i pristupačnim jezikom na osnovu kojih se sprovode dalja istraživanja. Korisnik možda nema posebna znanja iz oblasti numeričkih metoda i linearne algebre, ali lako može koristiti rezultate ovog rada. Radi jasnoće, dat je program za izračunavanje determinante matrice pomoću nekoliko metoda, napisan u programskom jeziku C++. Program se koristi kao laboratorijski stalak za izradu ilustracija za izvještaj. U toku je i proučavanje metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina. Dokazana je beskorisnost izračunavanja inverzne matrice, pa rad pruža optimalnije načine rješavanja jednadžbi bez njenog izračunavanja. Objašnjava zašto postoji toliko različitih metoda za izračunavanje determinanti i inverznih matrica i razmatra njihove nedostatke. Razmatraju se i greške u izračunavanju determinante i ocjenjuje se postignuta tačnost. Pored ruskih termina, u radu se koriste i njihovi engleski ekvivalenti da bi se razumelo pod kojim nazivima treba tražiti numeričke procedure u bibliotekama i šta znače njihovi parametri.

Osnovne definicije i najjednostavnija svojstva

Odrednica

Hajde da uvedemo definiciju determinante kvadratne matrice bilo kojeg reda. Ova definicija će biti ponavljajuća, odnosno, da biste ustanovili koja je determinanta matrice reda, morate već znati koja je determinanta matrice reda. Imajte na umu da determinanta postoji samo za kvadratne matrice.

Determinantu kvadratne matrice ćemo označiti sa ili det.

Definicija 1. Odrednica kvadratna matrica poziva se broj drugog reda .

Odrednica kvadratna matrica reda, naziva se broj

gdje je determinanta matrice reda dobijena iz matrice brisanjem prvog reda i stupca sa brojem .

Radi jasnoće, zapišimo kako možete izračunati determinantu matrice četvrtog reda:

Komentar. Stvarno izračunavanje determinanti za matrice iznad trećeg reda na osnovu definicije koristi se u izuzetnim slučajevima. Obično se proračun vrši pomoću drugih algoritama, o kojima će biti riječi kasnije i koji zahtijevaju manje računskog rada.

Komentar. U definiciji 1, tačnije bi bilo reći da je determinanta funkcija definirana na skupu kvadratnih matrica reda i uzima vrijednosti u skupu brojeva.

Komentar. U literaturi se umjesto pojma „determinanta“ koristi i termin „determinanta“ koji ima isto značenje. Iz riječi “determinanta” nastala je oznaka det.

Razmotrimo neka svojstva determinanti koje ćemo formulisati u obliku iskaza.

Izjava 1. Prilikom transponiranja matrice, determinanta se ne mijenja, tj.

Izjava 2. Determinanta proizvoda kvadratnih matrica jednaka je proizvodu determinanti faktora, tj.

Izjava 3. Ako se dva reda u matrici zamijene, njena determinanta će promijeniti predznak.

Izjava 4. Ako matrica ima dva identična reda, tada je njena determinanta nula.

U budućnosti ćemo morati da dodajemo nizove i množimo niz brojem. Ove akcije ćemo izvoditi na redove (kolone) na isti način kao i akcije na matrice redova (matrice kolona), odnosno element po element. Rezultat će biti red (kolona), koji se po pravilu ne poklapa sa redovima originalne matrice. Ako postoje operacije sabiranja redova (kolona) i njihovog množenja brojem, možemo govoriti i o linearnim kombinacijama redova (kolona), odnosno zbirovima sa numeričkim koeficijentima.

Izjava 5. Ako se red matrice pomnoži brojem, tada će se njegova determinanta pomnožiti s ovim brojem.

Izjava 6. Ako matrica sadrži nulti red, tada je njena determinanta nula.

Izjava 7. Ako je jedan od redova matrice jednak drugom, pomnožen brojem (redovi su proporcionalni), tada je determinanta matrice jednaka nuli.

Izjava 8. Neka i-ti red u matrici ima oblik . Zatim, gdje se matrica dobije iz matrice zamjenom i-tog reda sa redom, a matrica se dobije zamjenom i-tog reda sa redom.

Izjava 9. Ako jednom od redova matrice dodate još jedan red, pomnožen brojem, tada se determinanta matrice neće promijeniti.

Izjava 10. Ako je jedan od redova matrice linearna kombinacija njegovih ostalih redova, tada je determinanta matrice jednaka nuli.

Definicija 2. Algebarski komplement elementu matrice je broj jednak , gdje je determinanta matrice dobijena iz matrice brisanjem i-tog reda i j-te kolone. Algebarski komplement matričnog elementa se označava sa .

Primjer. Neka . Onda

Komentar. Koristeći algebarske sabiranja, definicija 1 determinante može se napisati na sljedeći način:

Izjava 11. Proširivanje determinante u proizvoljan niz.

Formula za determinantu matrice je

Primjer. Izračunati .

Rješenje. Koristimo proširenje duž trećeg reda, ovo je isplativije, jer su u trećem redu dva od tri broja nula. Dobijamo

Izjava 12. Za kvadratnu matricu reda u, vrijedi relacija: .

Izjava 13. Sva svojstva determinante formulisana za redove (izjave 1 - 11) važe i za kolone, posebno je važeća dekompozicija determinante u j-toj koloni i jednakost u .

Izjava 14. Determinanta trokutaste matrice jednaka je umnošku elemenata njene glavne dijagonale.

Posljedica. Determinanta matrice identiteta jednaka je jedan, .

Zaključak. Gore navedena svojstva omogućavaju pronalaženje determinanti matrica dovoljno visokog reda sa relativno malom količinom proračuna. Algoritam proračuna je sljedeći.

Algoritam za kreiranje nula u koloni. Pretpostavimo da trebamo izračunati determinantu reda. Ako je , tada zamijenite prvi red i bilo koji drugi red u kojem prvi element nije nula. Kao rezultat toga, determinanta , bit će jednaka determinanti nove matrice sa suprotnim predznakom. Ako je prvi element svakog reda jednak nuli, tada matrica ima nulti stupac i, prema izjavama 1, 13, njena determinanta je jednaka nuli.

Dakle, vjerujemo da je već u originalnoj matrici. Ostavljamo prvu liniju nepromijenjenu. Dodajte u drugi red prvi red pomnožen brojem. Tada će prvi element drugog reda biti jednak .

Preostale elemente novog drugog reda označavamo sa , . Determinanta nove matrice prema iskazu 9 jednaka je . Pomnožite prvi red brojem i dodajte ga trećem. Prvi element nove treće linije će biti jednak

Preostale elemente novog trećeg reda označavamo sa , . Determinanta nove matrice prema iskazu 9 jednaka je .

Nastavićemo proces dobijanja nula umesto prvih elemenata linija. Na kraju, pomnožite prvi red brojem i dodajte ga posljednjem redu. Rezultat je matrica, označimo je , koja ima oblik

i . Za izračunavanje determinante matrice koristimo ekspanziju u prvom stupcu

Od tada

Na desnoj strani je determinanta matrice reda. Na njega primjenjujemo isti algoritam, a izračunavanje determinante matrice će se svesti na izračunavanje determinante matrice reda. Ponavljamo postupak dok ne dođemo do determinante drugog reda, koja se izračunava po definiciji.

Ako matrica nema nikakva specifična svojstva, tada nije moguće značajno smanjiti količinu proračuna u odnosu na predloženi algoritam. Još jedan dobar aspekt ovog algoritma je da ga je lako koristiti za kreiranje kompjuterskog programa za izračunavanje determinanti matrica velikih redova. Standardni programi za izračunavanje determinanti koriste ovaj algoritam sa manjim izmenama koje se odnose na minimiziranje uticaja grešaka zaokruživanja i grešaka ulaznih podataka u računarskim proračunima.

Primjer. Izračunati determinantu matrice .

Rješenje. Ostavljamo prvu liniju nepromijenjenu. U drugi red dodajemo prvi, pomnožen brojem:

Odrednica se ne mijenja. U treći red dodajemo prvi, pomnožen brojem:

Odrednica se ne mijenja. Četvrtom redu dodajemo prvi, pomnožen brojem:

Odrednica se ne mijenja. Kao rezultat dobijamo

Koristeći isti algoritam, izračunavamo determinantu matrice reda 3, koja se nalazi na desnoj strani. Ostavljamo prvi red nepromijenjen, u drugi red dodajemo prvi red pomnožen brojem :

U treći red dodajemo prvi, pomnožen brojem :

Kao rezultat dobijamo

Odgovori. .

Komentar. Iako su u proračunima korišteni razlomci, ispostavilo se da je rezultat cijeli broj. Zaista, korištenjem svojstava determinanti i činjenice da su originalni brojevi cijeli brojevi, operacije sa razlomcima bi se mogle izbjeći. Ali u inženjerskoj praksi brojevi su izuzetno retko celi brojevi. Stoga će, po pravilu, elementi determinante biti decimalni razlomci i neprikladno je koristiti bilo kakve trikove za pojednostavljenje proračuna.

inverzna matrica

Definicija 3. Matrica se zove inverzna matrica za kvadratnu matricu, ako .

Iz definicije slijedi da će inverzna matrica biti kvadratna matrica istog reda kao i matrica (u suprotnom jedan od proizvoda ili ne bi bila definirana).

Inverz matrice se označava sa . Dakle, ako postoji, onda .

Iz definicije inverzne matrice slijedi da je matrica inverzna matrici, tj. Za matrice možemo reći da su inverzne jedna drugoj ili međusobno inverzne.

Ako je determinanta matrice nula, onda njen inverz ne postoji.

Budući da je za pronalaženje inverzne matrice važno da li je determinanta matrice jednaka nuli ili ne, uvodimo sljedeće definicije.

Definicija 4. Nazovimo kvadratnu matricu degenerisati ili posebna matrica, ako nedegenerisan ili nesingularna matrica, Ako .

Izjava. Ako inverzna matrica postoji, onda je jedinstvena.

Izjava. Ako kvadratna matrica nije singularna, tada postoji njen inverz i (1) gdje su algebarski komplementi elementima.

Teorema. Inverzna matrica za kvadratnu matricu postoji ako i samo ako je matrica nesingularna, inverzna matrica je jedinstvena i formula (1) je važeća.

Komentar. Posebnu pažnju treba obratiti na mjesta koja zauzimaju algebarski dodaci u formuli inverzne matrice: prvi indeks pokazuje broj kolona, a drugi je broj linije, u koji treba da upišete izračunato algebarsko sabiranje.

Primjer. .

Rješenje. Pronalaženje determinante

Budući da je , tada je matrica nedegenerirana, a njen inverz postoji. Pronalaženje algebarskih komplementa:

Sastavljamo inverznu matricu, postavljajući pronađene algebarske komplemente tako da prvi indeks odgovara stupcu, a drugi redu: (2)

Rezultirajuća matrica (2) služi kao odgovor na problem.

Komentar. U prethodnom primjeru, tačnije bi bilo napisati odgovor ovako:
(3)

Međutim, notacija (2) je kompaktnija i pogodnije je s njom izvršiti daljnja izračunavanja, ako je potrebno. Stoga je zapisivanje odgovora u obliku (2) poželjno ako su elementi matrice cijeli brojevi. I obrnuto, ako su elementi matrice decimalni razlomci, onda je bolje napisati inverznu matricu bez faktora ispred.

Komentar. Prilikom pronalaženja inverzne matrice morate izvršiti dosta proračuna, a pravilo za sređivanje algebarskih sabiranja u konačnoj matrici je neobično. Stoga postoji velika vjerovatnoća greške. Da biste izbjegli greške, provjerite: izračunajte proizvod originalne matrice i konačne matrice ovim ili onim redoslijedom. Ako je rezultat matrica identiteta, onda je inverzna matrica ispravno pronađena. U suprotnom, morate potražiti grešku.

Primjer. Naći inverz matrice .

Rješenje. - postoji.

odgovor: .

Zaključak. Pronalaženje inverzne matrice pomoću formule (1) zahtijeva previše proračuna. Za matrice četvrtog reda i više, to je neprihvatljivo. Stvarni algoritam za pronalaženje inverzne matrice će biti dat kasnije.