Dekompozicija matrice na elemente. Matrična determinanta. Formule za determinantu

Definicija1. 7. Minor element determinante je determinanta dobijena od datog elementa precrtavanjem reda i stupca u kojima se izabrani element pojavljuje.

Oznaka: odabrani element determinante, njegov minor.

Primjer. Za

Definicija1. 8. Algebarski komplement element determinante naziva se njegov minor ako je zbir indeksa ovog elementa i+j paran broj, odnosno broj suprotan minoru ako je i+j neparan, tj.

Razmotrimo još jedan način izračunavanja determinanti trećeg reda - takozvano proširenje reda ili stupca. Da bismo to učinili, dokazujemo sljedeću teoremu:

Teorema 1.1. Determinanta je jednaka zbiru proizvoda elemenata bilo kojeg njegovog reda ili stupca i njihovih algebarskih komplemenata, tj.

gdje je i=1,2,3.

Dokaz.

Dokažimo teoremu za prvi red determinante, jer se za bilo koji drugi red ili stupac može izvesti slično razmišljanje i dobiti isti rezultat.

Nađimo algebarske komplemente elementima prvog reda:

Dakle, za izračunavanje determinante dovoljno je pronaći algebarske komplemente elementima bilo kojeg reda ili stupca i izračunati zbir njihovih proizvoda prema odgovarajućim elementima determinante.

Primjer. Izračunajmo determinantu koristeći proširenje u prvom stupcu. Imajte na umu da u ovom slučaju nema potrebe za pretraživanjem, jer ćemo, posljedično, pronaći i dakle,

Odrednice viših redova.

Definicija1. 9. determinanta n-tog reda

postoji zbir n! članovi od kojih svaki odgovara jednom od n! uređenih skupova dobijenih r parnih permutacija elemenata iz skupa 1,2,…,n.

Napomena 1. Svojstva determinanti 3. reda vrijede i za determinante n-tog reda.

Napomena 2. U praksi se determinante visokih redova izračunavaju korištenjem proširenja reda ili stupca. Ovo nam omogućava da smanjimo red izračunatih determinanti i na kraju svedemo problem na pronalaženje determinanti trećeg reda.

Primjer. Izračunajmo determinantu 4. reda koristeći ekspanziju duž 2. kolone. Da bismo to učinili, pronaći ćemo:

dakle,

Laplaceov teorem- jedna od teorema linearne algebre. Ime je dobila po francuskom matematičaru Pierre-Simonu Laplaceu (1749. - 1827.), koji je zaslužan za formuliranje ove teoreme 1772. godine, iako je Lajbnizu bio poznat poseban slučaj ove teoreme o dekompoziciji determinante u nizu (koloni). .

glazura maloljetnik je definiran na sljedeći način:

Sljedeća izjava je tačna.

Broj minora preko kojih se uzima suma u Laplaceovoj teoremi jednak je broju načina odabira stupaca iz , odnosno binomnom koeficijentu.

Budući da su redovi i stupci matrice ekvivalentni s obzirom na svojstva determinante, Laplaceov teorem se može formulirati za stupce matrice.

Proširivanje determinante u red (kolona) (Korolar 1)

Široko poznat poseban slučaj Laplaceove teoreme je proširenje determinante u red ili stupac. Omogućava vam da predstavite determinantu kvadratne matrice kao zbir proizvoda elemenata bilo kojeg od njenih redaka ili stupaca i njihovih algebarskih komplemenata.

Neka biti kvadratna matrica veličine . Neka je također dat neki broj reda ili stupca matrice. Tada se determinanta može izračunati koristeći sljedeće formule.

Dalja svojstva su povezana sa konceptima mola i algebarskog komplementa

Minor element naziva se determinanta, sastavljena od elemenata preostalih nakon precrtavanja reda i stupca na čijem se presjeku nalazi ovaj element. Manji element determinante reda ima red . Označit ćemo ga sa .

Primjer 1. Neka , Onda .

Ovaj mol se dobija od A precrtavanjem drugog reda i treće kolone.

Algebarski komplement element se naziva odgovarajući minor pomnožen sa , tj. , gdje je broj reda i stupca na čijem se presjeku nalazi ovaj element.

VIII.(Dekompozicija determinante na elemente određenog niza). Determinanta je jednaka zbroju proizvoda elemenata određenog reda i njihovih odgovarajućih algebarskih komplementa.

Primjer 2. Neka , Onda

Primjer 3. Nađimo determinantu matrice , razlažući ga na elemente prvog reda.

Formalno, ova teorema i druga svojstva determinanti primjenjivi su samo za determinante matrica ne višeg od trećeg reda, budući da nismo razmatrali druge determinante. Sljedeća definicija će nam omogućiti da proširimo ova svojstva na determinante bilo kojeg reda.

Determinanta matrice red je broj izračunat sekvencijalnom primjenom teoreme ekspanzije i drugih svojstava determinanti.

Možete provjeriti da rezultat proračuna ne ovisi o redoslijedu u kojem se gornja svojstva primjenjuju i za koje redove i stupce. Koristeći ovu definiciju, determinanta je jedinstveno pronađena.

Iako ova definicija ne sadrži eksplicitnu formulu za pronalaženje determinante, ona omogućava pronalaženje determinante svođenjem na determinante matrica nižeg reda. Takve definicije se nazivaju ponavljajuća.

Primjer 4. Izračunaj determinantu:

Iako se teorema faktorizacije može primijeniti na bilo koji red ili stupac date matrice, manje proračuna se dobija faktorizacijom duž stupca koji sadrži što više nula.

Pošto matrica nema nula elemenata, dobijamo ih pomoću svojstva VII. Pomnožite prvi red uzastopno brojevima i dodajte ga u redove i dobijete:

Proširimo rezultujuću determinantu duž prve kolone i dobijemo:

pošto determinanta sadrži dva proporcionalna stupca.

Neke vrste matrica i njihove determinante

Kvadratna matrica koja ima nula elemenata ispod ili iznad glavne dijagonale () se zove trouglasti.

Njihova shematska struktura u skladu s tim izgleda ovako: ili

Prilikom rješavanja zadataka iz više matematike vrlo se često javlja potreba izračunati determinantu matrice. Determinanta matrice se pojavljuje u linearnoj algebri, analitičkoj geometriji, matematičkoj analizi i drugim granama više matematike. Dakle, jednostavno je nemoguće bez vještine rješavanja determinanti. Takođe, za samotestiranje možete besplatno preuzeti determinantni kalkulator, neće vas naučiti kako da sami rješavate determinante, ali je vrlo zgodno, jer je uvijek korisno znati tačan odgovor unaprijed!

Neću davati striktnu matematičku definiciju determinante i, generalno, pokušaću da minimiziram matematičku terminologiju većini čitalaca; Svrha ovog članka je da vas nauči kako riješiti determinante drugog, trećeg i četvrtog reda. Sav materijal je predstavljen u jednostavnom i pristupačnom obliku, a čak i pun (prazan) čajnik iz više matematike, nakon pažljivog proučavanja gradiva, moći će ispravno riješiti determinante.

U praksi najčešće možete pronaći odrednicu drugog reda, na primjer: i determinantu trećeg reda, na primjer: .

Odrednica četvrtog reda Takođe nije antikvitet, a do njega ćemo doći na kraju lekcije.

Nadam se da svi razumeju sledeće: Brojevi unutar determinante žive sami od sebe i nema govora o bilo kakvom oduzimanju! Brojevi se ne mogu zamijeniti!

(Konkretno, moguće je izvršiti parno preuređivanje redova ili stupaca determinante s promjenom njenog predznaka, ali to često nije potrebno - pogledajte sljedeću lekciju Svojstva determinante i snižavanje njenog reda)

Dakle, ako je data bilo koja determinanta, onda Ne diramo ništa unutar njega!

Oznake: Ako je data matrica , tada je označena njegova determinanta. Također se vrlo često odrednica označava latiničnim ili grčkim slovom.

1)Šta znači riješiti (pronaći, otkriti) odrednicu? Izračunati determinantu znači PRONAĆI BROJ. Znakovi pitanja u gornjim primjerima su potpuno obični brojevi.

2) Sada ostaje da shvatimo KAKO pronaći ovaj broj? Da biste to učinili, morate primijeniti određena pravila, formule i algoritme, o kojima će sada biti riječi.

Počnimo sa odrednicom "dva" sa "dva":

OVO TREBA ZAPAMTITI, barem dok studirate višu matematiku na fakultetu.

Pogledajmo odmah primjer:

Spreman. Najvažnije je DA SE NE ZBUNITE U ZNAKOVIMA.

Determinanta matrice tri po tri može se otvoriti na 8 načina, od kojih su 2 jednostavna i 6 normalna.

Počnimo s dva jednostavna načina

Slično determinanti dva po dva, determinanta tri po tri može se proširiti pomoću formule:

Formula je duga i lako je pogriješiti zbog nepažnje. Kako izbjeći dosadne greške? U tu svrhu izmišljena je druga metoda izračunavanja determinante, koja se zapravo poklapa s prvom. Zove se Sarrus metoda ili metoda “paralelnih traka”.
Suština je da desno od determinante dodijelite prvi i drugi stupac i pažljivo nacrtajte linije olovkom:

Množitelji koji se nalaze na „crvenim“ dijagonalama uključeni su u formulu sa znakom „plus“.
Množitelji koji se nalaze na "plavim" dijagonalama uključeni su u formulu sa predznakom minus:

primjer:

Uporedite ta dva rješenja. Lako je vidjeti da je to ISTA stvar, samo u drugom slučaju faktori formule su malo preuređeni, a što je najvažnije, vjerovatnoća da se napravi greška je mnogo manja.

Pogledajmo sada šest normalnih načina za izračunavanje determinante

Zašto normalno? Jer u velikoj većini slučajeva kvalifikatori moraju biti otkriveni na ovaj način.

Kao što ste primijetili, determinanta tri po tri ima tri kolone i tri reda.
Odrednicu možete riješiti otvaranjem bilo kojim redom ili kolonom.
Dakle, postoji 6 metoda koje se koriste u svim slučajevima isti tip algoritam.

Determinanta matrice jednaka je zbroju proizvoda elemenata reda (kolone) odgovarajućim algebarskim komplementama. Strašno? Sve je mnogo jednostavnije, koristićemo nenaučan, ali razumljiv pristup, dostupan čak i osobi koja je daleko od matematike.

U sljedećem primjeru ćemo proširiti determinantu na prvoj liniji.
Za ovo nam je potrebna matrica znakova: . Lako je primijetiti da su znakovi raspoređeni u šahovnici.

Pažnja! Matrica znakova je moj vlastiti izum. Ovaj koncept nije naučni, ne treba ga koristiti u konačnom dizajnu zadataka, on samo pomaže da razumete algoritam za izračunavanje determinante.

Prvo ću dati kompletno rješenje. Ponovo uzimamo našu eksperimentalnu determinantu i izvodimo proračune:

I glavno pitanje: KAKO to dobiti od determinante "tri po tri":
?

Dakle, determinanta "tri po tri" se svodi na rješavanje tri male determinante, ili kako ih još zovu, MINOROV. Preporučujem da zapamtite pojam, pogotovo jer se pamti: minor – mali.

Jednom je odabrana metoda dekompozicije determinante na prvoj liniji, očigledno je da se sve vrti oko nje:

Elementi se obično gledaju s lijeva na desno (ili odozgo prema dolje ako je odabrana kolona)

Idemo, prvo se pozabavimo prvim elementom linije, odnosno jednim:

1) Iz matrice znakova ispisujemo odgovarajući znak:

2) Zatim pišemo sam element:

3) MENTALNO precrtajte red i kolonu u kojima se pojavljuje prvi element:

Preostala četiri broja čine odrednicu “dva po dva”, koja se zove MINOR datog elementa (jedinice).

Pređimo na drugi element linije.

4) Iz matrice znakova ispisujemo odgovarajući znak:

5) Zatim napišite drugi element:

6) MENTALNO precrtajte red i stupac u kojem se pojavljuje drugi element:

Pa, treći element prvog reda. Bez originalnosti:

7) Iz matrice znakova ispisujemo odgovarajući znak:

8) Zapišite treći element:

9) MENTALNO precrtajte red i stupac koji sadrži treći element:

Preostala četiri broja upisujemo u malu odrednicu.

Preostale radnje ne predstavljaju nikakve poteškoće, jer već znamo da računamo determinante dva po dva. NEMOJTE SE ZBUNITI U ZNAKOVIMA!

Slično, determinanta se može proširiti na bilo koji red ili u bilo koju kolonu. Naravno, u svih šest slučajeva odgovor je isti.

Odrednica četiri po četiri može se izračunati korištenjem istog algoritma.
U ovom slučaju, naša matrica znakova će se povećati:

U sljedećem primjeru proširio sam determinantu prema četvrtoj koloni:

Kako se to dogodilo, pokušajte sami da shvatite. Više informacija će doći kasnije. Ako neko želi riješiti odrednicu do kraja, tačan odgovor je: 18. Za vježbu je bolje determinantu riješiti po nekom drugom stupcu ili drugom redu.

Vježbanje, otkrivanje, računanje je jako dobro i korisno. Ali koliko ćete vremena potrošiti na velike kvalifikacije? Zar ne postoji brži i pouzdaniji način? Predlažem da se upoznate sa efikasnim metodama za izračunavanje determinanti u drugoj lekciji - Svojstva determinante. Redukcija determinante.

BUDI PAZLJIV!

Izračunavanje determinanti n-ti red:

Koncept determinante n-th red

Koristeći ovaj članak o determinantama, sigurno ćete naučiti kako riješiti probleme poput sljedećih:

Riješite jednačinu:

i mnoge druge koje nastavnici rado smišljaju.

Determinanta matrice, ili jednostavno determinanta, igra važnu ulogu u rješavanju sistema linearnih jednačina. Općenito, determinante su izmišljene u tu svrhu. Budući da se često kaže i "determinanta matrice", ovdje ćemo spomenuti i matrice. Matrix je pravokutna tablica sastavljena od brojeva koji se ne mogu zamijeniti. Kvadratna matrica je tabela u kojoj je broj redova i stupaca isti. Samo kvadratna matrica može imati determinantu.

Lako je razumjeti logiku pisanja determinanti koristeći sljedeću shemu. Uzmimo sistem od dvije jednačine sa dvije nepoznate, koji vam je poznat iz škole:

U determinanti se koeficijenti za nepoznate upisuju redom: u prvom redu - iz prve jednačine, u drugom redu - iz druge jednačine:

Na primjer, ako je dat sistem jednačina

tada se od koeficijenata nepoznatih formira sljedeća determinanta:

Dakle, neka nam je data kvadratna tabela koja se sastoji od brojeva raspoređenih u n linije (horizontalni redovi) i in n kolone (vertikalni redovi). Koristeći ove brojeve, prema nekim pravilima koja ćemo proučiti u nastavku, oni pronalaze broj koji se zove odrednica n-tog reda i označene na sljedeći način:

(1)

Zovu se brojevi elementi determinanta (1) (prvi indeks označava broj reda, drugi – broj kolone na čijem preseku se element nalazi; i = 1, 2, ..., n; j= 1, 2, ..., n). Redoslijed determinante je broj njenih redova i stupaca.

Zamišljena prava linija koja povezuje elemente determinante za koje su oba indeksa ista, tj. elementi

pozvao glavna dijagonala, druga dijagonala – strana.

Izračunavanje determinanti drugog i trećeg reda

Pokažimo kako se izračunavaju determinante prva tri reda.

Odrednica prvog reda je sam element, tj.

Determinanta drugog reda je broj koji se dobije na sljedeći način:

, (2)

Proizvod elemenata koji se nalaze na glavnoj i sekundarnoj dijagonali, respektivno.

Jednakost (2) pokazuje da se proizvod elemenata glavne dijagonale uzima sa svojim predznakom, a proizvod elemenata sekundarne dijagonale sa suprotnim predznakom .

Primjer 1. Izračunajte determinante drugog reda:

Rješenje. Koristeći formulu (2) nalazimo:

Determinanta trećeg reda je broj dobijen na sljedeći način:

(3)

Teško je zapamtiti ovu formulu. Međutim, postoji jednostavno pravilo tzv pravilo trougla , što olakšava reprodukciju izraza (3). Označavajući elemente determinante tačkama, pravim segmentima povezujemo one od njih koji daju proizvod elemenata determinante (slika 1).

Formula (3) pokazuje da se proizvodi elemenata glavne dijagonale, kao i elementi koji se nalaze u vrhovima dva trougla čije su osnove s njim paralelne, uzimaju sa svojim predznacima; sa suprotnim - proizvod elemenata bočne dijagonale, kao i elemenata koji se nalaze na vrhovima dva trokuta koji su paralelni s njom .

Na slici 1, glavna dijagonala i odgovarajuće baze trouglova i sekundarna dijagonala i odgovarajuće baze trokuta su istaknute crvenom bojom.

Prilikom izračunavanja determinanti, vrlo je važno, kao i u srednjoj školi, imati na umu da broj sa predznakom minus pomnožen brojem sa predznakom minus rezultira brojem sa predznakom plus, a broj sa predznakom plus pomnožen sa broj sa znakom minus rezultira u daje broj sa predznakom minus.

Primjer 2. Izračunajte determinantu trećeg reda:

Rješenje. Koristeći pravilo trougla, dobijamo

Izračunavanje determinanti n-th red

Proširivanje determinante po redu ili koloni

Za izračunavanje determinante n-tog reda, morate znati i koristiti sljedeću teoremu.

Laplaceov teorem. Determinanta je jednaka zbiru proizvoda elemenata bilo kojeg reda i njihovih algebarskih komplementa, tj.

Definicija. Ako je u odrednici n red - birajte proizvoljno str linije i str kolone ( str < n), tada elementi koji se nalaze na sjecištu ovih redova i stupaca formiraju matricu reda.

Determinanta ove matrice se zove minor izvorna odrednica. Na primjer, razmotrite determinantu:

Napravimo matricu od redova i kolona s parnim brojevima:

Odrednica

pozvao minor odrednica Imamo maloljetnika drugog reda. Jasno je da iz ovoga možemo konstruisati razne minore prvog, drugog i trećeg reda.

Ako uzmemo element i precrtamo red i stupac u determinanti na čijem presjeku se nalazi, dobićemo minor koji se naziva element minor, koji označavamo sa:

Ako se minor pomnoži sa , gdje je 3 + 2 zbir brojeva reda i stupaca na čijem se presjeku nalazi element, onda se rezultirajući proizvod naziva algebarski dodatak element i označava se sa

Općenito ćemo označavati minor elementa i algebarski komplement,

(4)

Na primjer, izračunajmo algebarske komplemente elemenata i determinante trećeg reda:

Koristeći formulu (4) dobijamo

Prilikom dekompozicije determinante, često se koristi sljedeće svojstvo determinante n-ti red:

Ako elementima reda ili stupca dodate proizvod odgovarajućih elemenata drugog reda ili stupca konstantnim faktorom, tada se vrijednost determinante neće promijeniti.

Primjer 4.

Prvo oduzmite elemente četvrtog reda od prvog i trećeg reda, onda ćemo imati

Četvrta kolona rezultirajuće determinante sadrži tri elementa – nule. Stoga je isplativije proširiti ovu determinantu na elemente četvrtog stupca, jer će prva tri proizvoda biti nule. Zbog toga

Rješenje možete provjeriti pomoću online kalkulator determinanti .

A sljedeći primjer pokazuje kako se izračunavanje determinante bilo kojeg (u ovom slučaju četvrtog) reda može svesti na izračunavanje determinante drugog reda.

Primjer 5. Izračunaj determinantu:

Oduzmimo elemente prvog reda od trećeg reda i dodajmo elemente prvog reda elementima četvrtog reda, tada ćemo imati

U prvoj koloni svi elementi osim prvog su nule. Odnosno, determinanta se već može proširiti preko prve kolone. Ali mi zaista ne želimo izračunati determinantu trećeg reda. Stoga ćemo napraviti još neke transformacije: elementima trećeg reda dodaćemo elemente drugog reda, pomnožene sa 2, a od elemenata četvrtog reda oduzet ćemo elemente drugog reda. Kao rezultat toga, determinanta, koja je algebarski komplement, može se sama proširiti duž prvog stupca i morat ćemo samo izračunati determinantu drugog reda i ne zbuniti se u predznacima:

Svođenje determinante na trouglasti oblik

Determinanta u kojoj su svi elementi koji leže na jednoj strani jedne od dijagonala jednaki nuli naziva se trokutasta. Obrnutim redoslijedom redova ili stupaca, slučaj sekundarne dijagonale se svodi na slučaj glavne dijagonale. Ova determinanta je jednaka umnošku elemenata glavne dijagonale.

Za svođenje na trouglasti oblik koristi se isto svojstvo determinante n-ti red, koji smo primijenili u prethodnom pasusu: ako se elementima reda ili stupca doda proizvod odgovarajućih elemenata drugog reda ili stupca konstantnim faktorom, tada se vrijednost determinante neće promijeniti.

Rješenje možete provjeriti pomoću online kalkulator determinanti .

Svojstva determinante n-th red

U prethodna dva paragrafa smo već koristili jedno od svojstava determinante n-th red. U nekim slučajevima, da biste pojednostavili izračunavanje determinante, možete koristiti druga važna svojstva determinante. Na primjer, može se svesti determinanta na zbir dvije determinante, od kojih se jedna ili obje mogu zgodno proširiti u neki red ili kolonu. Postoji mnogo slučajeva takvog pojednostavljenja, a o pitanju korištenja jednog ili drugog svojstva determinante treba odlučivati pojedinačno.

Često na univerzitetima nailazimo na probleme iz više matematike u kojima je to neophodno izračunati determinantu matrice. Usput, determinanta može biti samo u kvadratnim matricama. U nastavku ćemo razmotriti osnovne definicije, koja svojstva ima determinanta i kako je ispravno izračunati. Također ćemo pokazati detaljno rješenje na primjerima.

Šta je determinanta matrice: izračunavanje determinante pomoću definicije

Matrična determinanta

Drugi red je broj.

Determinanta matrice se označava – (skraćenica od latinskog naziva za determinante), ili .

Ako:, onda se ispostavilo

Prisjetimo se još nekoliko pomoćnih definicija:

Definicija

Uređeni skup brojeva koji se sastoji od elemenata naziva se permutacija reda.

Za skup koji sadrži elemente postoji faktorijel (n), koji je uvijek označen uzvičnikom: . Permutacije se razlikuju jedna od druge samo po redoslijedu u kojem se pojavljuju. Da bude jasnije, dajemo primjer:

Razmotrimo skup od tri elementa (3, 6, 7). Postoji ukupno 6 permutacija, budući da .:

Definicija

Inverzija u permutaciji reda je uređeni skup brojeva (takođe se naziva i bijekcija), pri čemu dva od njih čine neku vrstu nereda. Ovo je kada se veći broj u datoj permutaciji nalazi lijevo od manjeg broja.

Iznad smo pogledali primjer s inverzijom permutacije, gdje su bili brojevi. Dakle, uzmimo drugi red, gdje se, sudeći po ovim brojevima, ispostavlja da je , a , budući da je drugi element veći od trećeg. Uzmimo za poređenje šesti red, gdje se nalaze brojevi: . Ovdje postoje tri para: , i , pošto title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , так как title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , – title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="43" style="vertical-align: 0px;">.!}

Nećemo proučavati samu inverziju, ali će nam permutacije biti vrlo korisne u daljem razmatranju teme.

Definicija

Determinanta matrice x – broj:

je permutacija brojeva od 1 do beskonačnog broja, i broj inverzija u permutaciji. Dakle, determinanta uključuje termine koji se nazivaju „termovi determinante“.

Možete izračunati determinantu matrice drugog, trećeg, pa čak i četvrtog reda. Također vrijedi spomenuti:

Definicija

Determinanta matrice je broj koji je jednak

Da bismo razumjeli ovu formulu, opišimo je detaljnije. Determinanta kvadratne matrice x je zbir koji sadrži članove, a svaki član je proizvod određenog broja elemenata matrice. Štaviše, u svakom proizvodu postoji element iz svakog reda i svake kolone matrice.

Može se pojaviti prije određenog pojma ako su elementi matrice u proizvodu u redu (prema broju reda), a broj inverzija u permutaciji mnogih brojeva stupaca je neparan.

Gore je spomenuto da se determinanta matrice označava sa ili, odnosno da se determinanta često naziva determinantom.

Dakle, vratimo se formuli:

Iz formule je jasno da je determinanta matrice prvog reda element iste matrice.

Izračunavanje determinante matrice drugog reda

Najčešće se u praksi determinanta matrice rješava metodama drugog, trećeg i rjeđe četvrtog reda. Pogledajmo kako se izračunava determinanta matrice drugog reda:

U matrici drugog reda, slijedi da je faktorijel . Pre nego što primenite formulu

Potrebno je utvrditi koje podatke dobijamo:

2. permutacije skupova: i ;

3. broj inverzija u permutaciji : i , pošto title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">;!}

4. odgovarajući radovi: i.

Ispada:

Na osnovu navedenog dobijamo formulu za izračunavanje determinante kvadratne matrice drugog reda, odnosno x:

Pogledajmo konkretan primjer kako izračunati determinantu kvadratne matrice drugog reda:

Primjer

Zadatak

Izračunajte determinantu matrice x:

Rješenje

Dakle, dobijamo , , , .

Da biste to riješili, morate koristiti prethodno razmatranu formulu:

Zamjenjujemo brojeve iz primjera i nalazimo:

Odgovori

Determinanta matrice drugog reda = .

Izračunavanje determinante matrice trećeg reda: primjer i rješenje pomoću formule

Definicija

Determinanta matrice trećeg reda je broj dobiven iz devet zadanih brojeva raspoređenih u kvadratnu tablicu,

Determinanta trećeg reda nalazi se na gotovo isti način kao i determinanta drugog reda. Jedina razlika je u formuli. Stoga, ako dobro razumijete formulu, onda neće biti problema s rješenjem.

Razmotrimo kvadratnu matricu trećeg reda *:

Na osnovu ove matrice shvatamo da je, shodno tome, faktorijal = , što znači da su ukupne permutacije

Da biste pravilno primijenili formulu, morate pronaći podatke:

Dakle, ukupne permutacije skupa su:

Broj inverzija u permutaciji je , a odgovarajući proizvodi = ;

Broj inverzija u permutaciji title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведения = ;!}

Inverzije u permutaciji title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;"> ;!}

. ; inverzije u permutaciji title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}

. ; inverzije u permutaciji title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="171" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = .!}

Sada dobijamo:

Dakle, imamo formulu za izračunavanje determinante matrice reda x:

Pronalaženje matrice trećeg reda pomoću pravila trokuta (Sarrusovo pravilo)

Kao što je već pomenuto, elementi determinante 3. reda nalaze se u tri reda i tri kolone. Ako unesete oznaku općeg elementa, tada prvi element označava broj reda, a drugi element iz indeksa označava broj stupca. Postoji glavna (elementi) i sekundarna (elementi) dijagonala determinante. Članovi na desnoj strani nazivaju se pojmovi determinante).

Može se vidjeti da je svaki član determinante u dijagramu sa samo jednim elementom u svakom redu i svakoj koloni.

Možete izračunati determinantu pomoću pravila pravokutnika, koje je prikazano u obliku dijagrama. Crvenom bojom su istaknuti članovi determinante iz elemenata glavne dijagonale, kao i pojmovi iz elemenata koji se nalaze na vrhu trokuta koji imaju jednu stranu paralelnu glavnoj dijagonali (lijevi dijagram), uzeti sa predznakom .

Sa znakom se uzimaju pojmovi sa plavim strelicama iz elemenata bočne dijagonale, kao i iz elemenata koji se nalaze u vrhovima trouglova čiji su stranice paralelne sa bočnom dijagonalom (desni dijagram).

Koristeći sljedeći primjer, naučit ćemo kako izračunati determinantu kvadratne matrice trećeg reda.

Primjer

Zadatak

Izračunajte determinantu matrice trećeg reda:

Rješenje

U ovom primjeru:

Izračunavamo determinantu koristeći formulu ili shemu o kojoj smo gore govorili:

Odgovori

Determinanta matrice trećeg reda =

Osnovna svojstva determinanti matrice trećeg reda

Na osnovu prethodnih definicija i formula, razmotrimo glavne svojstva determinante matrice.

1. Veličina determinante se neće promijeniti prilikom zamjene odgovarajućih redova i stupaca (takva zamjena se naziva transpozicija).

Koristeći primjer, uvjerit ćemo se da je determinanta matrice jednaka determinanti transponirane matrice:

Prisjetimo se formule za izračunavanje determinante:

Transponirajte matricu:

Izračunavamo determinantu transponovane matrice:

Provjerili smo da je determinanta transportirane matrice jednaka originalnoj matrici, što ukazuje na ispravno rješenje.

2. Predznak determinante će se promijeniti u suprotan ako se bilo koja dva njena stupca ili dva reda zamijene.

Pogledajmo primjer:

Zadate dvije matrice trećeg reda (x):

Potrebno je pokazati da su determinante ovih matrica suprotne.

Rješenje

Promijenjeni su redovi u matrici i u matrici (treći iz prvog, a iz prvog u treći). Prema drugom svojstvu, determinante dvije matrice moraju se razlikovati po predznaku. To jest, jedna matrica ima pozitivan predznak, a druga negativan predznak. Provjerimo ovo svojstvo korištenjem formule za izračunavanje determinante.

Svojstvo je istinito jer .

3. Determinanta je jednaka nuli ako ima iste odgovarajuće elemente u dva reda (kolona). Neka determinanta ima identične elemente prvog i drugog stupca:

Zamjenom identičnih stupaca, prema svojstvu 2, dobijamo novu determinantu: = . S druge strane, nova determinanta se poklapa s originalnom, jer elementi imaju iste odgovore, odnosno = . Iz ovih jednakosti dobijamo: = .

4. Determinanta je jednaka nuli ako su svi elementi jednog reda (kolone) jednaki nuli. Ova tvrdnja proizilazi iz činjenice da svaki član determinante prema formuli (1) ima jedan, a iz svakog reda (kolone) samo jedan element koji ima samo nule.

Pogledajmo primjer:

Pokažimo da je determinanta matrice jednaka nuli:

Naša matrica ima dva identična stupca (drugi i treći), stoga, na osnovu ovog svojstva, determinanta mora biti jednaka nuli. hajde da proverimo:

Zaista, determinanta matrice sa dva identična stupca jednaka je nuli.

5. Zajednički faktor elemenata prvog reda (kolone) može se izvaditi iz predznaka determinante:

6. Ako su elementi jednog retka ili jednog stupca determinante proporcionalni odgovarajućim elementima drugog reda (kolone), tada je takva determinanta jednaka nuli.

Zaista, slijedeći svojstvo 5, koeficijent proporcionalnosti se može izvaditi iz predznaka determinante i tada se može koristiti svojstvo 3.

7. Ako je svaki od elemenata redova (stupaca) determinante zbir dva člana, onda se ova determinanta može predstaviti kao zbir odgovarajućih determinanti:

Za provjeru, dovoljno je napisati u proširenom obliku prema (1) determinantu koja se nalazi na lijevoj strani jednakosti, zatim posebno grupirati članove koji sadrže elemente i svaka od rezultirajućih grupa članova će biti, respektivno , prva i druga determinanta na desnoj strani jednakosti.

8. Vrijednosti definicije se neće promijeniti ako se odgovarajući elementi drugog reda (kolone) dodaju elementu jednog retka ili stupca, pomnoženog istim brojem:

Ova jednakost se dobija na osnovu svojstava 6 i 7.

9. Determinanta matrice, , jednaka je zbroju proizvoda elemenata bilo kojeg reda ili stupca i njihovih algebarskih komplementa.

Ovdje se podrazumijeva algebarski komplement matričnog elementa. Koristeći ovo svojstvo, možete izračunati ne samo matrice trećeg reda, već i matrice višeg reda (x ili x). . Zapamtite to, jer se često koristi u praksi.

Vrijedi reći da je korištenjem devetog svojstva moguće izračunati determinante matrica ne samo četvrtog, već i višeg reda. Međutim, u ovom slučaju morate izvršiti mnogo računskih operacija i biti oprezni, jer će najmanja greška u znakovima dovesti do pogrešne odluke. Najpogodnije je rješavati matrice višeg reda Gaussovom metodom, a o tome ćemo kasnije.

10. Determinanta proizvoda matrica istog reda jednaka je proizvodu njihovih determinanti.

Pogledajmo primjer:

Primjer

Zadatak

Uvjerite se da je determinanta dvije matrice i jednaka umnošku njihovih determinanti. Date su dvije matrice:

Rješenje

Prvo, nalazimo proizvod determinanti dvije matrice i .

Sada pomnožimo obje matrice i tako izračunamo determinantu:

Odgovori

U to smo se uverili