Niech będzie macierz kwadratowa n-tego rzędu

Nazywa się macierz A -1 odwrotna macierz w stosunku do macierzy A, jeśli A*A -1 = E, gdzie E jest macierzą jednostkową n-tego rzędu.

Macierz jednostkowa- taka macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy wzdłuż głównej przekątnej, przechodząc od lewego górnego do prawego dolnego rogu, są jedynkami, a reszta jest zerami, na przykład:

odwrotna macierz może istnieć tylko dla macierzy kwadratowych te. dla tych macierzy, w których liczba wierszy i kolumn pokrywa się.

Twierdzenie o warunku istnienia macierzy odwrotnej

Aby macierz miała macierz odwrotną, konieczne i wystarczające jest, aby była ona nieosobliwa.

Nazywa się macierz A = (A1, A2,...A n). niezdegenerowany, jeśli wektory kolumnowe są liniowo niezależne. Liczba liniowo niezależnych wektorów kolumnowych macierzy nazywana jest rzędem macierzy. Można zatem powiedzieć, że aby istniała macierz odwrotna, konieczne i wystarczające jest, aby stopień macierzy był równy jej wymiarowi, tj. r = n.

Algorytm znajdowania macierzy odwrotnej

1. Wpisz macierz A do tabeli rozwiązywania układów równań metodą Gaussa i przypisz do niej macierz E po prawej stronie (w miejsce prawych stron równań).
2. Korzystając z transformacji Jordana, zredukuj macierz A do macierzy składającej się z kolumn jednostkowych; w tym przypadku konieczne jest jednoczesne przekształcenie macierzy E.
3. W razie potrzeby przestaw wiersze (równania) ostatniej tabeli tak, aby pod macierzą A oryginalnej tabeli znalazła się macierz jednostkowa E.
4. Zapisz macierz odwrotną A -1, która znajduje się w ostatniej tabeli pod macierzą E oryginalnej tabeli.

Przykład 1

Dla macierzy A znajdź macierz odwrotną A -1

Rozwiązanie: Zapisujemy macierz A i po prawej stronie przypisujemy macierz jednostkową E Korzystając z transformacji Jordana, redukujemy macierz A do macierzy jednostkowej E. Obliczenia przedstawiono w tabeli 31.1.

Sprawdźmy poprawność obliczeń mnożąc pierwotną macierz A i odwrotną macierz A -1.

W wyniku mnożenia macierzy otrzymano macierz jednostkową. Zatem obliczenia zostały wykonane prawidłowo.

Odpowiedź:

Rozwiązywanie równań macierzowych

Równania macierzowe mogą wyglądać następująco:

AX = B, HA = B, AXB = C,

gdzie A, B, C to określone macierze, X to pożądana macierz.

Równania macierzowe rozwiązuje się poprzez pomnożenie równania przez macierze odwrotne.

Na przykład, aby znaleźć macierz z równania, należy pomnożyć to równanie przez lewą stronę.

Dlatego, aby znaleźć rozwiązanie równania, należy znaleźć macierz odwrotną i pomnożyć ją przez macierz po prawej stronie równania.

Inne równania rozwiązuje się w podobny sposób.

Przykład 2

Rozwiąż równanie AX = B jeśli

Rozwiązanie: Ponieważ macierz odwrotna jest równa (patrz przykład 1)

Metoda macierzowa w analizie ekonomicznej

Wraz z innymi są one również używane metody matrycowe. Metody te opierają się na algebrze liniowej i macierzy wektorowo-macierzowej. Metody takie wykorzystywane są do analizy złożonych i wielowymiarowych zjawisk gospodarczych. Najczęściej metody te stosuje się, gdy zachodzi potrzeba dokonania porównawczej oceny funkcjonowania organizacji i ich podziałów strukturalnych.

W procesie stosowania metod analizy macierzowej można wyróżnić kilka etapów.

Na pierwszym etapie tworzony jest system wskaźników ekonomicznych i na jego podstawie tworzona jest macierz danych wyjściowych, będąca tabelą, w której w poszczególnych jego wierszach prezentowane są numery systemu (i = 1,2,.....,n), a w kolumnach pionowych - numery wskaźników (j = 1,2,....,m).

Na drugim etapie Dla każdej kolumny pionowej identyfikowana jest największa z dostępnych wartości wskaźnika, którą przyjmuje się jako jedną.

Następnie wszystkie kwoty odzwierciedlone w tej kolumnie są dzielone przez największą wartość i tworzona jest macierz standardowych współczynników.

Na trzecim etapie wszystkie składniki macierzy są kwadratowe. Jeżeli mają one różne znaczenie, wówczas każdemu wskaźnikowi matrycowemu przypisany jest określony współczynnik wagowy k. Wartość tego ostatniego określana jest na podstawie opinii biegłego.

Na ostatnim czwarty etap znalezione wartości ocen Rj są pogrupowane według ich wzrostu lub spadku.

Przedstawione metody macierzowe należy stosować m.in. w analizie porównawczej różnych projektów inwestycyjnych, a także w ocenie innych wskaźników ekonomicznych działalności organizacji.

Dla każdej nieosobliwej macierzy A istnieje jednoznaczna macierz A -1 taka, że

A*A -1 =A -1 *A = E,

gdzie E jest macierzą jednostkową tych samych rzędów co A. Macierz A -1 nazywana jest odwrotnością macierzy A.

Gdyby ktoś zapomniał, w macierzy jednostkowej, z wyjątkiem przekątnej wypełnionej jedynkami, wszystkie pozostałe pozycje są wypełniane zerami, przykład macierzy jednostkowej:

Znajdowanie macierzy odwrotnej metodą macierzy sprzężonych

Macierz odwrotną definiuje wzór:

gdzie A ij - elementy a ij.

Te. Aby obliczyć macierz odwrotną, należy obliczyć wyznacznik tej macierzy. Następnie znajdź uzupełnienia algebraiczne dla wszystkich jego elementów i utwórz z nich nową macierz. Następnie musisz przetransportować tę matrycę. I podziel każdy element nowej macierzy przez wyznacznik oryginalnej macierzy.

Spójrzmy na kilka przykładów.

Znajdź A -1 dla macierzy

Rozwiązanie. Znajdźmy A -1, korzystając z metody macierzy sprzężonych. Mamy det A = 2. Znajdźmy dopełnienia algebraiczne elementów macierzy A. W tym przypadku dopełnieniami algebraicznymi elementów macierzy będą odpowiadające sobie elementy samej macierzy, wzięte ze znakiem zgodnie ze wzorem

Mamy A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Tworzymy macierz sprzężoną

Transportujemy macierz A*:

Macierz odwrotną znajdujemy korzystając ze wzoru:

Otrzymujemy:

Używając metody macierzy sprzężonych, znajdź A -1 jeśli

Rozwiązanie Najpierw obliczamy definicję tej macierzy, aby sprawdzić istnienie macierzy odwrotnej. Mamy

Tutaj do elementów drugiego rzędu dodaliśmy elementy trzeciego rzędu, wcześniej pomnożone przez (-1), a następnie rozwinęliśmy wyznacznik dla drugiego rzędu. Ponieważ definicja tej macierzy jest różna od zera, istnieje jej macierz odwrotna. Aby skonstruować macierz sprzężoną, znajdujemy uzupełnienia algebraiczne elementów tej macierzy. Mamy

Według formuły

macierz transportowa A*:

Następnie według wzoru

Wyznaczanie macierzy odwrotnej metodą przekształceń elementarnych

Oprócz metody znajdowania macierzy odwrotnej, która wynika ze wzoru (metoda macierzy sprzężonych), istnieje metoda znajdowania macierzy odwrotnej, zwana metodą przekształceń elementarnych.

Elementarne przekształcenia macierzy

Następujące przekształcenia nazywane są elementarnymi przekształceniami macierzy:

1) przegrupowanie wierszy (kolumn);

2) pomnożenie wiersza (kolumny) przez liczbę różną od zera;

3) dodanie do elementów wiersza (kolumny) odpowiednich elementów innego wiersza (kolumny), uprzednio pomnożonych przez określoną liczbę.

Aby znaleźć macierz A -1 konstruujemy macierz prostokątną B = (A|E) rzędów (n; 2n), przypisując macierzy A po prawej stronie macierz jednostkową E poprzez linię podziału:

Spójrzmy na przykład.

Korzystając z metody przekształceń elementarnych, znajdź A -1 jeśli

Rozwiązanie. Tworzymy macierz B:

Oznaczmy wiersze macierzy B przez α 1, α 2, α 3. Dokonajmy następujących przekształceń na wierszach macierzy B.

Temat ten jest jednym z najbardziej znienawidzonych wśród studentów. Gorzej prawdopodobnie są kwalifikacje.

Rzecz w tym, że samo pojęcie elementu odwrotnego (i nie mówię tylko o macierzach) odsyła nas do operacji mnożenia. Nawet w programie szkolnym mnożenie uważane jest za operację złożoną, a mnożenie macierzy to generalnie odrębny temat, któremu poświęciłem cały akapit i lekcję wideo.

Dziś nie będziemy wdawać się w szczegóły obliczeń macierzowych. Pamiętajmy tylko: jak wyznacza się macierze, jak się je mnoży i co z tego wynika.

Przegląd: Mnożenie macierzy

Przede wszystkim uzgodnijmy notację. Macierz $A$ o rozmiarze $\left[ m\times n \right]$ jest po prostu tabelą liczb zawierającą dokładnie $m$ wierszy i $n$ kolumn:

\=\underbrace(\left[ \begin(macierz) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrix) \right])_(n)\]

Aby uniknąć przypadkowego pomieszania wierszy i kolumn (uwierz mi, na egzaminie można pomylić jedynkę z dwójką, nie mówiąc już o niektórych wierszach), spójrz tylko na obrazek:

Wyznaczanie wskaźników dla komórek macierzy

Co się dzieje? Jeśli umieścisz standardowy układ współrzędnych $OXY$ w lewym górnym rogu i skierujesz osie tak, aby obejmowały całą macierz, to każda komórka tej macierzy będzie mogła być jednoznacznie powiązana ze współrzędnymi $\left(x;y \right)$ - będzie to numer wiersza i numer kolumny.

Dlaczego układ współrzędnych jest umieszczony w lewym górnym rogu? Tak, bo to od niego zaczynamy czytać dowolne teksty. Bardzo łatwo to zapamiętać.

Dlaczego oś $x$ jest skierowana w dół, a nie w prawo? Znowu to proste: weź standardowy układ współrzędnych (oś $x$ idzie w prawo, oś $y$ idzie w górę) i obróć go tak, aby zakrył macierz. Jest to obrót o 90 stopni zgodnie z ruchem wskazówek zegara – efekt widzimy na zdjęciu.

Ogólnie rzecz biorąc, wymyśliliśmy, jak określić indeksy elementów macierzy. Teraz spójrzmy na mnożenie.

Definicja. Macierze $A=\left[ m\times n \right]$ i $B=\left[ n\times k \right]$, gdy liczba kolumn w pierwszej pokrywa się z liczbą wierszy w drugiej, to nazywany konsekwentnym.

Dokładnie w tej kolejności. Można się pomylić i powiedzieć, że macierze $A$ i $B$ tworzą uporządkowaną parę $\left(A;B \right)$: jeśli są spójne w tej kolejności, to wcale nie jest konieczne, aby $B $ i $A$ te. para $\left(B;A \right)$ jest również spójna.

Można mnożyć tylko dopasowane macierze.

Definicja. Iloczyn dopasowanych macierzy $A=\left[ m\times n \right]$ i $B=\left[ n\times k \right]$ to nowa macierz $C=\left[ m\times k \right ]$ , którego elementy $((c)_(ij))$ oblicza się według wzoru:

\[((c)_(ij))=\suma\limity_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Innymi słowy: aby otrzymać element $((c)_(ij))$ macierzy $C=A\cdot B$, musisz wziąć wiersz $i$ pierwszej macierzy, czyli $j$ -tą kolumnę drugiej macierzy, a następnie pomnóż parami elementy z tego wiersza i kolumny. Dodaj wyniki.

Tak, to bardzo ostra definicja. Wynika z niego bezpośrednio kilka faktów:

1. Mnożenie macierzy, ogólnie rzecz biorąc, jest nieprzemienne: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Jednak mnożenie jest łączne: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. A nawet rozdzielnie: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. I jeszcze raz rozdzielnie: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Rozdzielność mnożenia musiała być opisana oddzielnie dla lewego i prawego współczynnika sumy właśnie ze względu na nieprzemienność operacji mnożenia.

Jeżeli okaże się, że $A\cdot B=B\cdot A$, to takie macierze nazywamy przemiennymi.

Wśród wszystkich macierzy, które są tam mnożone przez coś, są specjalne - takie, które pomnożone przez dowolną macierz $A$ ponownie dają $A$:

Definicja. Macierz $E$ nazywa się tożsamością, jeżeli $A\cdot E=A$ lub $E\cdot A=A$. W przypadku macierzy kwadratowej $A$ możemy zapisać:

Macierz tożsamości jest częstym gościem przy rozwiązywaniu równań macierzowych. I w ogóle częsty gość w świecie matryc :)

I przez to $E$ ktoś wymyślił te wszystkie bzdury, które będą pisane dalej.

Co to jest macierz odwrotna

Ponieważ mnożenie macierzy jest operacją bardzo pracochłonną (trzeba pomnożyć kilka wierszy i kolumn), koncepcja macierzy odwrotnej również okazuje się nietrywialna. I wymagające wyjaśnień.

Definicja klucza

Cóż, czas poznać prawdę.

Definicja. Macierz $B$ nazywa się odwrotnością macierzy $A$ if

Macierz odwrotna jest oznaczona przez $((A)^(-1))$ (nie mylić ze stopniem!), zatem definicję można przepisać w następujący sposób:

Wydawać by się mogło, że wszystko jest niezwykle proste i przejrzyste. Ale analizując tę ​​definicję, od razu pojawia się kilka pytań:

1. Czy macierz odwrotna zawsze istnieje? A jeśli nie zawsze, to jak ustalić: kiedy istnieje, a kiedy nie?
2. A kto powiedział, że istnieje dokładnie jedna taka macierz? A co jeśli dla jakiejś macierzy początkowej $A$ istnieje cała masa odwrotności?
3. Jak wyglądają te wszystkie „odwroty”? A jak dokładnie powinniśmy je policzyć?

Jeśli chodzi o algorytmy obliczeniowe, porozmawiamy o tym nieco później. Ale na pozostałe pytania odpowiemy już teraz. Sformułujmy je w formie odrębnych twierdzeń-lematów.

Podstawowe właściwości

Zacznijmy od tego jak w zasadzie powinna wyglądać macierz $A$, aby dla niej istniała $((A)^(-1))$. Teraz upewnimy się, że obie te macierze muszą być kwadratowe i mieć ten sam rozmiar: $\left[ n\times n \right]$.

Lemat 1. Biorąc pod uwagę macierz $A$ i jej odwrotność $((A)^(-1))$. Wtedy obie te macierze są kwadratowe i tego samego rzędu $n$.

Dowód. To proste. Niech macierz $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Ponieważ iloczyn $A\cdot ((A)^(-1))=E$ istnieje z definicji, macierze $A$ i $((A)^(-1))$ są spójne w pokazanej kolejności:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( wyrównywać)\]

Jest to bezpośrednia konsekwencja algorytmu mnożenia macierzy: współczynniki $n$ i $a$ są „przejściowe” i muszą być równe.

Jednocześnie definiuje się także odwrotne mnożenie: $((A)^(-1))\cdot A=E$, zatem macierze $((A)^(-1))$ i $A$ są również spójne w określonej kolejności:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( wyrównywać)\]

Zatem bez utraty ogólności możemy założyć, że $A=\lewo[ m\razy n \prawo]$, $((A)^(-1))=\lewo[ n\razy m \prawo]$. Jednak zgodnie z definicją $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ zatem rozmiary macierzy są ściśle zgodne:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Okazuje się więc, że wszystkie trzy macierze - $A$, $((A)^(-1))$ i $E$ - są macierzami kwadratowymi o rozmiarze $\left[ n\times n \right]$. Lemat został udowodniony.

No to już dobrze. Widzimy, że tylko macierze kwadratowe są odwracalne. Teraz upewnijmy się, że macierz odwrotna jest zawsze taka sama.

Lemat 2. Biorąc pod uwagę macierz $A$ i jej odwrotność $((A)^(-1))$. Wtedy ta macierz odwrotna jest jedyna.

Dowód. Przejdźmy przez sprzeczność: niech macierz $A$ ma co najmniej dwie odwrotności - $B$ i $C$. Zatem zgodnie z definicją prawdziwe są następujące równości:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(align)\]

Z Lematu 1 wnioskujemy, że wszystkie cztery macierze - $A$, $B$, $C$ i $E$ - są kwadratami tego samego rzędu: $\left[ n\times n \right]$. Dlatego produkt jest zdefiniowany:

Ponieważ mnożenie macierzy jest łączne (ale nie przemienne!), możemy napisać:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Strzałka w prawo B=C. \\ \end(align)\]

Mamy jedyną możliwą opcję: dwie kopie macierzy odwrotnej są równe. Lemat został udowodniony.

Powyższe argumenty powtarzają niemal dosłownie dowód niepowtarzalności elementu odwrotnego dla wszystkich liczb rzeczywistych $b\ne 0$. Jedynym istotnym dodatkiem jest uwzględnienie wymiaru macierzy.

Nadal jednak nie wiemy nic na temat tego, czy każda macierz kwadratowa jest odwracalna. Tutaj z pomocą przychodzi nam wyznacznik - jest to kluczowa cecha wszystkich macierzy kwadratowych.

Lemat 3. Biorąc pod uwagę macierz $A$. Jeżeli istnieje jej macierz odwrotna $((A)^(-1))$, to wyznacznik macierzy pierwotnej jest różny od zera:

\[\lewo| A\prawo|\ne 0\]

Dowód. Wiemy już, że $A$ i $((A)^(-1))$ są macierzami kwadratowymi o rozmiarze $\left[ n\times n \right]$. Dlatego dla każdego z nich możemy obliczyć wyznacznik: $\left| A\prawo|$ i $\lewo| ((A)^(-1)) \right|$. Jednakże wyznacznik iloczynu jest równy iloczynowi wyznaczników:

\[\lewo| A\cdot B \prawo|=\lewo| A \right|\cdot \left| B \right|\Strzałka w prawo \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \prawo|\]

Ale zgodnie z definicją $A\cdot ((A)^(-1))=E$, a wyznacznik $E$ jest zawsze równy 1, więc

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \w lewo| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\racja|; \\ & \w lewo| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \prawo|=1. \\ \end(align)\]

Iloczyn dwóch liczb jest równy jeden tylko wtedy, gdy każda z tych liczb jest różna od zera:

\[\lewo| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

Okazuje się, że $\left| A \right|\ne 0$. Lemat został udowodniony.

W rzeczywistości wymóg ten jest dość logiczny. Teraz przeanalizujemy algorytm znajdowania macierzy odwrotnej - i stanie się całkowicie jasne, dlaczego przy zerowym wyznaczniku w zasadzie nie może istnieć żadna macierz odwrotna.

Ale najpierw sformułujmy definicję „pomocniczą”:

Definicja. Macierz pojedyncza to macierz kwadratowa o rozmiarze $\left[ n\times n \right]$, której wyznacznikiem jest zero.

Możemy zatem twierdzić, że każda macierz odwracalna jest nieosobliwa.

Jak znaleźć odwrotność macierzy

Teraz rozważymy uniwersalny algorytm znajdowania macierzy odwrotnych. Ogólnie rzecz biorąc, istnieją dwa ogólnie przyjęte algorytmy i dzisiaj rozważymy również drugi.

Ten, który zostanie teraz omówiony, jest bardzo efektywny dla macierzy o rozmiarze $\left[ 2\times 2 \right]$ i - częściowo - size $\left[ 3\times 3 \right]$. Ale zaczynając od rozmiaru $\left[ 4\times 4 \right]$ lepiej go nie używać. Dlaczego - teraz sam wszystko zrozumiesz.

Dodatki algebraiczne

Przygotuj się. Teraz będzie ból. Nie, nie martw się: piękna pielęgniarka w spódniczce, koronkowych pończochach nie przyjdzie do Ciebie i nie zrobi Ci zastrzyku w pośladek. Wszystko jest o wiele bardziej prozaiczne: przychodzą do ciebie dodatki algebraiczne i Jej Wysokość „Macierz Unii”.

Zacznijmy od najważniejszej rzeczy. Niech istnieje macierz kwadratowa o rozmiarze $A=\left[ n\times n \right]$, której elementy nazywane są $((a)_(ij))$. Następnie dla każdego takiego elementu możemy zdefiniować dopełnienie algebraiczne:

Definicja. Dopełnienie algebraiczne $((A)_(ij))$ do elementu $((a)_(ij))$ znajdującego się w $i$tym ​​wierszu i $j$th kolumnie macierzy $A=\left[ n \times n \right]$ jest konstrukcją formy

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Gdzie $M_(ij)^(*)$ jest wyznacznikiem macierzy otrzymanej z pierwotnego $A$ poprzez usunięcie tego samego $i$tego wiersza i $j$tej kolumny.

Ponownie. Dopełnienie algebraiczne elementu macierzy o współrzędnych $\left(i;j \right)$ oznaczamy jako $((A)_(ij))$ i obliczamy według schematu:

1. Najpierw usuwamy wiersz $i$ i kolumnę $j$ z oryginalnej macierzy. Otrzymujemy nową macierz kwadratową i oznaczamy jej wyznacznik jako $M_(ij)^(*)$.
2. Następnie mnożymy ten wyznacznik przez $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - na początku to wyrażenie może wydawać się oszałamiające, ale w istocie po prostu szukamy znaku przed $M_(ij)^(*) $.
3. Liczymy i otrzymujemy konkretną liczbę. Te. dodawanie algebraiczne jest dokładnie liczbą, a nie jakąś nową macierzą itp.

Sama macierz $M_(ij)^(*)$ nazywana jest dodatkowym mollem elementu $((a)_(ij))$. I w tym sensie powyższa definicja dopełnienia algebraicznego jest szczególnym przypadkiem bardziej złożonej definicji - o czym pisaliśmy na lekcji o wyznaczniku.

Ważna uwaga. Właściwie w matematyce „dla dorosłych” dodawanie algebraiczne definiuje się w następujący sposób:

1. W macierzy kwadratowej bierzemy $k$ wierszy i $k$ kolumn. Na ich przecięciu otrzymujemy macierz o rozmiarze $\left[ k\times k \right]$ - jej wyznacznik nazywamy mollem rzędu $k$ i oznaczamy $((M)_(k))$.
2. Następnie skreślamy te „wybrane” wiersze i kolumny $k$. Po raz kolejny otrzymujemy macierz kwadratową – jej wyznacznik nazywamy dodatkowym mollem i oznaczamy $M_(k)^(*)$.
3. Pomnóż $M_(k)^(*)$ przez $((\left(-1 \right))^(t))$, gdzie $t$ to (uwaga!) suma liczb wszystkich zaznaczonych wierszy i kolumny. To będzie dodawanie algebraiczne.

Spójrz na trzeci krok: w rzeczywistości istnieje suma warunków o wartości 2 tys. $! Inna sprawa, że ​​dla $k=1$ otrzymamy tylko 2 wyrazy - będą to te same $i+j$ - „współrzędne” elementu $((a)_(ij))$ dla którego jesteśmy szukam dopełnienia algebraicznego.

Dlatego dzisiaj używamy nieco uproszczonej definicji. Ale jak zobaczymy później, będzie to więcej niż wystarczające. O wiele ważniejsze jest to, co następuje:

Definicja. Macierz pokrewna $S$ macierzy kwadratowej $A=\left[ n\times n \right]$ jest nową macierzą o rozmiarze $\left[ n\times n \right]$, którą otrzymujemy z $A$ zastępując $((a)_(ij))$ dodatkami algebraicznymi $((A)_(ij))$:

\\Strzałka w prawo S=\left[ \begin(macierz) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(macierz) \right]\]

Pierwsza myśl, która pojawia się w momencie realizacji tej definicji, brzmi: „ile trzeba będzie policzyć!” Spokojnie: będziesz musiał policzyć, ale nie aż tak :)

Cóż, wszystko to jest bardzo miłe, ale dlaczego jest to konieczne? Ale dlaczego.

Główne twierdzenie

Cofnijmy się trochę. Przypomnijmy, w Lemacie 3 stwierdzono, że macierz odwracalna $A$ jest zawsze nieosobliwa (tzn. jej wyznacznik jest niezerowy: $\left| A \right|\ne 0$).

Zatem jest też odwrotnie: jeśli macierz $A$ nie jest osobliwa, to zawsze jest odwracalna. Istnieje nawet schemat wyszukiwania $((A)^(-1))$. Sprawdź to:

Twierdzenie o macierzy odwrotnej. Niech zostanie podana macierz kwadratowa $A=\left[ n\times n \right]$, której wyznacznik jest różny od zera: $\left| A \right|\ne 0$. Wówczas istnieje macierz odwrotna $((A)^(-1))$, którą oblicza się ze wzoru:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

A teraz - wszystko jest takie samo, ale czytelnym pismem. Aby znaleźć macierz odwrotną, potrzebujesz:

1. Oblicz wyznacznik $\left| A \right|$ i upewnij się, że jest różny od zera.
2. Skonstruuj macierz sumy $S$, tj. policz 100500 dodatków algebraicznych $((A)_(ij))$ i umieść je w miejscu $((a)_(ij))$.
3. Transponuj tę macierz $S$, a następnie pomnóż ją przez pewną liczbę $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

To wszystko! Znaleziono macierz odwrotną $((A)^(-1))$. Spójrzmy na przykłady:

\[\left[ \begin(macierz) 3 i 1 \\ 5 i 2 \\\end(macierz) \right]\]

Rozwiązanie. Sprawdźmy odwracalność. Obliczmy wyznacznik:

\[\lewo| A\prawo|=\lewo| \begin(macierz) 3 i 1 \\ 5 i 2 \\\end(macierz) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Wyznacznik jest różny od zera. Oznacza to, że macierz jest odwracalna. Stwórzmy macierz unii:

Obliczmy dodawanie algebraiczne:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \prawo|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \prawo|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \prawo|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\prawo|=3. \\ \end(align)\]

Uwaga: wyznaczniki |2|, |5|, |1| i |3| są wyznacznikami macierzy rozmiaru $\left[ 1\times 1 \right]$, a nie modułami. Te. Jeżeli w wyznacznikach były liczby ujemne, nie ma potrzeby usuwania „minusu”.

W sumie nasza macierz unii wygląda następująco:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 i -5 \\ -1 i 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (tablica)(*(35)(r)) 2 i -1 \\ -5 i 3 \\\end(tablica) \right]\]

OK, wszystko już skończone. Problem jest rozwiązany.

Odpowiedź. $\left[ \begin(tablica)(*(35)(r)) 2 i -1 \\ -5 i 3 \\\end(tablica) \right]$

Zadanie. Znajdź macierz odwrotną:

\[\left[ \begin(tablica)(*(35)(r)) 1 i -1 i 2 \\ 0 i 2 i -1 \\ 1 i 0 i 1 \\\end(array) \right] \]

Rozwiązanie. Ponownie obliczamy wyznacznik:

\[\begin(align) & \left| \begin(tablica)(*(35)(r)) 1 i -1 i 2 \\ 0 i 2 i -1 \\ 1 i 0 i 1 \\\end(tablica) \right|=\begin(macierz ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Wyznacznik jest niezerowy – macierz jest odwracalna. Ale teraz będzie naprawdę ciężko: musimy policzyć aż 9 (dziewięć, skurwielu!) dodatków algebraicznych. I każdy z nich będzie zawierał wyznacznik $\left[ 2\times 2 \right]$. Latał:

\[\begin(macierz) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(macierz) 2 i -1 \\ 0 i 1 \\\end(macierz) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(macierz) 0 i -1 \\ 1 i 1 \\\end(macierz) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(macierz) 0 i 2 \\ 1 i 0 \\\end(macierz) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(macierz) 1 i -1 \\ 0 i 2 \\\end(macierz) \right|=2; \\ \end(macierz)\]

W skrócie macierz unii będzie wyglądać następująco:

Zatem macierz odwrotna będzie miała postać:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(macierz) 2 i -1 i -2 \\ 1 i -1 i -1 \\ -3 i 1 i 2 \\\end(macierz) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 i 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 i 1 i -2 \\\end(tablica) \right]\]

Otóż ​​to. Oto odpowiedź.

Odpowiedź. $\left[ \begin(tablica)(*(35)(r)) -2 i -1 i 3 \\ 1 i 1 i -1 \\ 2 i 1 i -2 \\\end(array) \right ]$

Jak widać, na końcu każdego przykładu przeprowadziliśmy kontrolę. W związku z tym ważna uwaga:

Nie bądź leniwy, aby sprawdzić. Pomnóż pierwotną macierz przez znalezioną macierz odwrotną - powinieneś otrzymać $E$.

Wykonanie tego sprawdzenia jest znacznie łatwiejsze i szybsze niż szukanie błędu w dalszych obliczeniach, gdy na przykład rozwiązuje się równanie macierzowe.

Alternatywny sposób

Jak powiedziałem, twierdzenie o odwrotnej macierzy sprawdza się doskonale dla rozmiarów $\left[ 2\times 2 \right]$ i $\left[ 3\times 3 \right]$ (w tym drugim przypadku nie jest już tak „świetnie” " ), ale przy większych matrycach zaczyna się smutek.

Ale nie martwcie się: istnieje alternatywny algorytm, dzięki któremu spokojnie znajdziecie odwrotność nawet dla macierzy $\left[ 10\times 10 \right]$. Jednak, jak to często bywa, aby rozważyć ten algorytm, potrzebujemy małego wprowadzenia teoretycznego.

Transformacje elementarne

Wśród wszystkich możliwych transformacji macierzy jest kilka specjalnych - nazywane są one elementarnymi. Istnieją dokładnie trzy takie transformacje:

1. Mnożenie. Możesz wziąć $i$ty wiersz (kolumnę) i pomnożyć go przez dowolną liczbę $k\ne 0$;
2. Dodatek. Dodaj do $i$-tego wiersza (kolumny) dowolny inny $j$-ty wiersz (kolumna), pomnożony przez dowolną liczbę $k\ne 0$ (możesz oczywiście zrobić $k=0$, ale co to jest o co chodzi? ? Nic się nie zmieni).
3. Przegrupowanie. Weź $i$th i $j$th wierszy (kolumn) i zamień miejscami.

Dlaczego te przekształcenia nazywane są elementarnymi (dla dużych macierzy nie wyglądają one już tak elementarnie) i dlaczego są tylko trzy - te pytania wykraczają poza zakres dzisiejszej lekcji. Dlatego nie będziemy wdawać się w szczegóły.

Ważna jest jeszcze jedna rzecz: wszystkie te perwersje musimy wykonać na macierzy sprzężonej. Tak, tak: dobrze słyszałeś. Teraz będzie jeszcze jedna definicja - ostatnia w dzisiejszej lekcji.

Macierz sprzężona

Z pewnością w szkole rozwiązywaliście układy równań metodą dodawania. Cóż, odejmij kolejną od jednej linii, pomnóż jakąś linię przez liczbę - to wszystko.

A więc: teraz wszystko będzie po staremu, ale w „dorosłym” wydaniu. Gotowy?

Definicja. Niech zostanie podana macierz $A=\left[ n\times n \right]$ i macierz jednostkowa $E$ o tej samej wielkości $n$. Następnie macierz przylegająca $\left[ A\left| E\ prawda. \right]$ to nowa macierz o rozmiarze $\left[ n\times 2n \right]$, która wygląda następująco:

\[\lewy[ A\lewy| E\ prawda. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]

Krótko mówiąc, bierzemy macierz $A$, po prawej stronie przypisujemy jej macierz tożsamościową $E$ o wymaganej wielkości, dla urody oddzielamy je pionową kreską - tutaj mamy łącznik :)

Jaki jest haczyk? Oto co:

Twierdzenie. Niech macierz $A$ będzie odwracalna. Rozważmy macierz połączoną $\left[ A\left| E\ prawda. \prawo]$. Jeśli używasz konwersje ciągów elementarnych sprowadź go do postaci $\left[ E\left| Jasny. \right]$, tj. mnożąc, odejmując i przestawiając wiersze, aby otrzymać z $A$ macierz $E$ po prawej stronie, wówczas macierz $B$ uzyskana po lewej stronie jest odwrotnością $A$:

\[\lewy[ A\lewy| E\ prawda. \prawo]\do \lewo[ E\lewo| Jasny. \right]\Strzałka w prawo B=((A)^(-1))\]

To takie proste! W skrócie algorytm znajdowania macierzy odwrotnej wygląda następująco:

1. Zapisz macierz połączoną $\left[ A\left| E\ prawda. \right]$;
2. Wykonuj podstawowe transformacje łańcuchów, aż zamiast $A$ pojawi się $E$;
3. Oczywiście po lewej stronie też pojawi się coś - pewna macierz $B$. To będzie odwrotnie;
4. ZYSK!:)

Oczywiście znacznie łatwiej to powiedzieć, niż zrobić. Spójrzmy więc na kilka przykładów: dla rozmiarów $\left[ 3\times 3 \right]$ i $\left[ 4\times 4 \right]$.

Zadanie. Znajdź macierz odwrotną:

\[\left[ \begin(tablica)(*(35)(r)) 1 i 5 i 1 \\ 3 i 2 i 1 \\ 6 i -2 i 1 \\\end(array) \right]\ ]

Rozwiązanie. Tworzymy macierz sprzężoną:

\[\left[ \begin(tablica)(rrr|rrr) 1 i 5 i 1 i 1 i 0 i 0 \\ 3 i 2 i 1 i 0 i 1 i 0 \\ 6 i -2 i 1 i 0 & 0 i 1 \\\end(tablica) \right]\]

Ponieważ ostatnia kolumna oryginalnej macierzy jest wypełniona jedynkami, odejmij pierwszy wiersz od pozostałych:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 i 1 i 0 i 0 i 1 \\\end(array) \right]\begin(macierz) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(macierz)\to \\ & \to \left [ \begin(tablica)(rrr|rrr) 1 i 5 i 1 i 1 i 0 i 0 \\ 2 i -3 i 0 i -1 i 1 i 0 \\ 5 i -7 i 0 i -1 i 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Nie ma już jednostek poza pierwszą linią. Ale nie dotykamy tego, w przeciwnym razie nowo usunięte jednostki zaczną „mnożyć się” w trzeciej kolumnie.

Ale drugą linię możemy odjąć dwukrotnie od ostatniej - otrzymamy jedną w lewym dolnym rogu:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 i 5 i 1 i 1 i 0 i 0 \\ 2 i -3 i 0 i -1 i 1 i 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(macierz) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(macierz)\to \\ & \left [ \begin(tablica)(rrr|rrr) 1 i 5 i 1 i 1 i 0 i 0 \\ 2 i -3 i 0 i -1 i 1 i 0 \\ 1 i -1 i 0 i 1 i -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Teraz możemy odjąć ostatni wiersz od pierwszego i dwukrotnie od drugiego - w ten sposób „zerujemy” pierwszą kolumnę:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 i 5 i 1 i 1 i 0 i 0 \\ 2 i -3 i 0 i -1 i 1 i 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(macierz) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(macierz)\to \\ & \ do \left[ \begin(tablica)(rrr|rrr) 0 i 6 i 1 i 0 i 2 i -1 \\ 0 i -1 i 0 i -3 i 5 i -2 \\ 1 i -1 i 0 & 1 i -2 i 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Pomnóż drugą linię przez -1, a następnie odejmij ją 6 razy od pierwszej i dodaj 1 raz do ostatniej:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 i 6 i 1 i 0 i 2 i -1 \\ 0 i -1 i 0 i -3 i 5 i -2 \ \ 1 i -1 i 0 i 1 i -2 i 1 \\\end(tablica) \right]\begin(macierz) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\end(macierz)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 i -5 i 2 \\ 1 i -1 i 0 i 1 i -2 i 1 \\\end(array) \right]\begin(macierz) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (macierz)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 i 0 i 0 i 4 i -7 i 3 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Pozostaje tylko zamienić linie 1 i 3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 i 32 i -13 \\\end(tablica) \right]\]

Gotowy! Po prawej stronie znajduje się wymagana macierz odwrotna.

Odpowiedź. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 i -7 i 3 \\ 3 i -5 i 2 \\ -18 i 32 i -13 \\\end(array) \right ]$

Zadanie. Znajdź macierz odwrotną:

\[\left[ \begin(macierz) 1 i 4 i 2 i 3 \\ 1 i -2 i 1 i -2 \\ 1 i -1 i 1 i 1 \\ 0 i -10 i -2 i -5 \\\end(macierz) \right]\]

Rozwiązanie. Ponownie tworzymy dodatek:

\[\left[ \begin(tablica)(rrrr|rrrr) 1 i 4 i 2 i 3 i 1 i 0 i 0 i 0 \\ 1 i -2 i 1 i -2 i 0 i 1 i 0 i 0 \ \ 1 i -1 i 1 i 1 i 0 i 0 i 1 i 0 \\ 0 i -10 i -2 i -5 i 0 i 0 i 0 i 1 \\\end(array) \right]\]

Popłaczmy trochę, posmućmy się, ile mamy teraz doliczyć... i zacznijmy liczyć. Najpierw „wyzerujmy” pierwszą kolumnę, odejmując wiersz 1 od wierszy 2 i 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 i 4 i 2 i 3 i 1 i 0 i 0 i 0 \\ 1 i -2 i 1 i -2 i 0 & 1 i 0 i 0 \\ 1 i -1 i 1 i 1 i 0 i 0 i 1 i 0 \\ 0 i -10 i -2 i -5 i 0 i 0 i 0 i 1 \\\end(tablica) \right]\begin(macierz) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(macierz)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 i 2 i 3 i 1 i 0 i 0 i 0 \\ 0 i -6 i -1 i -5 i -1 i 1 i 0 i 0 \\ 0 i -5 i -1 i -2 i -1 & 0 i 1 i 0 \\ 0 i -10 i -2 i -5 i 0 i 0 i 0 i 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Widzimy zbyt wiele „minusów” w wierszach 2-4. Pomnóż wszystkie trzy wiersze przez -1, a następnie wypal trzecią kolumnę, odejmując wiersz 3 od reszty:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 i 4 i 2 i 3 i 1 i 0 i 0 i 0 \\ 0 i -6 i -1 i -5 i - 1 i 1 i 0 i 0 \\ 0 i -5 i -1 i -2 i -1 i 0 i 1 i 0 \\ 0 i -10 i -2 i -5 i 0 i 0 i 0 i 1 \\ \end(tablica) \right]\begin(macierz) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \w lewo| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \w lewo| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(macierz)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 i 1 i -1 i 0 i 0 \\ 0 i 5 i 1 i 2 i 1 i 0 i -1 i 0 \\ 0 i 10 i 2 i 5 i 0 i 0 i 0 i -1 \\ \end (tablica) \right]\begin(macierz) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(macierz)\to \\ & \to \left[ \begin(tablica)( rrrr|. rrrr) 1 i -6 i 0 i -1 i -1 i 0 i 2 i 0 \\ 0 i 1 i 0 i 3 i 0 i -1 i 1 i 0 \\ 0 i 5 i 1 i 2 & 1 i 0 i -1 i 0 \\ 0 i 0 i 0 i 1 i -2 i 0 i 2 i -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Teraz czas na „usmażenie” ostatniej kolumny oryginalnej macierzy: od reszty odejmij linię 4:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array ) \right]\begin(macierz) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(macierz)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 i -6 i 0 i 0 i -3 i 0 i 4 i -1 \\ 0 i 1 i 0 i 0 i 6 i -1 i -5 i 3 \\ 0 i 5 i 1 i 0 i 5 i 0 & -5 i 2 \\ 0 i 0 i 0 i 1 i -2 i 0 i 2 i -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Ostatni rzut: „wypal” drugą kolumnę, odejmując linię 2 od linii 1 i 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 i -5 i 3 \\ 0 i 5 i 1 i 0 i 5 i 0 i -5 i 2 \\ 0 i 0 i 0 i 1 i -2 i 0 i 2 i -1 \\\end( array) \right]\begin(macierz) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

I znowu macierz tożsamości jest po lewej stronie, co oznacza, że ​​​​odwrotność jest po prawej stronie :)

Odpowiedź. $\left[ \begin(macierz) 33 i -6 i -26 i 17 \\ 6 i -1 i -5 i 3 \\ -25 i 5 i 20 i -13 \\ -2 i 0 i 2 i - 1 \\\end(macierz) \right]$

OK, wszystko już skończone. Sprawdź sam - mam przerąbane :)

Podobny do odwrotności w wielu właściwościach.

Encyklopedyczny YouTube

1 / 5

✪ Odwrotna macierz (2 sposoby znalezienia)

✪ Jak znaleźć odwrotność macierzy - bezbotvy

✪ Odwrotna macierz nr 1

✪ Rozwiązywanie układu równań metodą odwrotnych macierzy - bezbotvy

✪ Odwrotna macierz

Napisy na filmie obcojęzycznym

Własności macierzy odwrotnej

• det ZA - 1 = 1 det ZA (\ Displaystyle \ det A ^ (-1) = (\ Frac (1) (\ det A)}), Gdzie det (\ displaystyle \\ det) oznacza wyznacznik.
• (A B) - 1 = b - 1 ZA - 1 (\ Displaystyle \ (AB) ^ (-1) = B ^ (-1) A ^ (-1)} dla dwóch kwadratowych odwracalnych macierzy A (\ displaystyle A) I B (\ displaystyle B).
• (A T) - 1 = (A - 1) T (\ Displaystyle \ (A ^ (T)) ^ (-1) = (A ^ (-1)) ^ (T)}, Gdzie (. . .) T (\ displaystyle (...) ^ (T)) oznacza transponowaną macierz.
• (k ZA) - 1 = k - 1 ZA - 1 (\ Displaystyle \ (kA) ^ (-1) = k ^ (-1) A ^ (-1)} dla dowolnego współczynnika k ≠ 0 (\ displaystyle k \ nie = 0).
• mi - 1 = mi (\ displaystyle \ E ^ (-1) = E).
• Jeśli konieczne jest rozwiązanie układu równań liniowych, (b jest wektorem niezerowym), gdzie x (\ displaystyle x) jest pożądanym wektorem i if ZA - 1 (\ displaystyle A ^ (-1)) istnieje zatem x = ZA - 1 b (\ Displaystyle x = A ^ (-1) b). W przeciwnym razie albo wymiar przestrzeni rozwiązań jest większy od zera, albo w ogóle nie ma rozwiązań.

Metody znajdowania macierzy odwrotnej

Jeśli macierz jest odwracalna, to aby znaleźć macierz odwrotną, można zastosować jedną z następujących metod:

Metody dokładne (bezpośrednie).

Metoda Gaussa-Jordana

Weźmy dwie macierze: the A i singiel mi. Przedstawmy macierz A do macierzy jednostkowej metodą Gaussa-Jordana, stosując przekształcenia wzdłuż wierszy (można też zastosować przekształcenia wzdłuż kolumn, ale nie zmieszane). Po zastosowaniu każdej operacji do pierwszej macierzy, zastosuj tę samą operację do drugiej. Kiedy redukcja pierwszej macierzy do postaci jednostkowej zostanie zakończona, druga macierz będzie równa A-1.

Przy zastosowaniu metody Gaussa pierwsza macierz zostanie pomnożona po lewej stronie przez jedną z macierzy elementarnych Λ ja (\ Displaystyle \ Lambda _ (i))(macierz transwekcji lub diagonalna z jedynkami na głównej przekątnej, z wyjątkiem jednej pozycji):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ ZA = Λ ZA = mi ⇒ Λ = ZA - 1 (\ Displaystyle \ Lambda _ (1) \ cdot \ kropki \ cdot \ Lambda _ (n) \ cdot A = \ Lambda A = E \Strzałka w prawo \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − za 1 m / za m m 0 … 0 … 0 … 1 − za m − 1 m / za m m 0 … 0 0 … 0 1 / za m m 0 … 0 0 … 0 − za m + 1 m / za m m 1 … 0 … 0 … 0 - za n m / za m m 0 … 1 ] (\ Displaystyle \ Lambda _ (m) = (\ początek (bmatrix) 1 i \ kropki & 0 i - a_ (1 m) / a_ (mm) & 0 i \ kropki & 0 \\ &&&\kropki &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).

Druga macierz po zastosowaniu wszystkich operacji będzie równa Λ (\ displaystyle \ Lambda), czyli będzie pożądany. Złożoność algorytmu - O (n 3) (\ displaystyle O (n ^ (3))).

Korzystanie z macierzy dopełnienia algebraicznego

Macierz odwrotna macierzy A (\ displaystyle A), można przedstawić w postaci

ZA - 1 = przym (A) det (A) (\ Displaystyle (A) ^ (-1) = ({{\ mbox (adj)) (A)) \ ponad (\ det (A))))

Gdzie przym (A) (\ Displaystyle (\ mbox (przym)) (A))- macierz sprzężona;

Złożoność algorytmu zależy od złożoności algorytmu obliczania wyznacznika O det i jest równa O(n²)·O det.

Korzystanie z rozkładu LU/LUP

Równanie macierzowe ZA X = ja n (\ displaystyle AX = I_ (n)) dla macierzy odwrotnej X (\ displaystyle X) można uznać za zbiór n (\ displaystyle n) systemy formularza ZA x = b (\ displaystyle Ax = b). Oznaczmy ja (\ displaystyle ja) kolumna macierzy X (\ displaystyle X) Poprzez X ja (\ displaystyle X_ (i)); Następnie ZA X ja = mi ja (\ Displaystyle AX_ (i) = e_ (i)), ja = 1 , … , n (\ Displaystyle i = 1, \ ldots, n),ponieważ ja (\ displaystyle ja) kolumna macierzy ja n (\ displaystyle I_ (n)) jest wektorem jednostkowym mi ja (\ displaystyle e_ (i)). innymi słowy, znalezienie macierzy odwrotnej sprowadza się do rozwiązania n równań z tą samą macierzą i różnymi prawymi stronami. Po wykonaniu rozkładu LUP (czas O(n³)) rozwiązanie każdego z n równań zajmuje czas O(n²), więc ta część pracy również wymaga czasu O(n³).

Jeżeli macierz A nie jest osobliwa, to można dla niej obliczyć rozkład LUP P ZA = L U (\ displaystyle PA = LU). Pozwalać P ZA = b (\ displaystyle PA = B), B - 1 = re (\ displaystyle B ^ (-1) = D). Następnie z własności macierzy odwrotnej możemy napisać: re = U - 1 L - 1 (\ Displaystyle D = U ^ (-1) L ^ (-1)). Jeśli pomnożysz tę równość przez U i L, możesz otrzymać dwie równości postaci U re = L - 1 (\ Displaystyle UD = L ^ (-1)) I re L = U - 1 (\ Displaystyle DL = U ^ (-1)). Pierwsza z tych równości jest układem n² równań liniowych dla n (n + 1) 2 (\ Displaystyle (\ Frac (n (n + 1)) (2))} z których znane są prawe strony (z własności macierzy trójkątnych). Drugi reprezentuje również układ n² równań liniowych dla n (n - 1) 2 (\ Displaystyle (\ Frac (n (n-1)) (2))} z których znane są prawe strony (również z własności macierzy trójkątnych). Razem reprezentują system n² równości. Korzystając z tych równości możemy rekurencyjnie wyznaczyć wszystkie n² elementów macierzy D. Następnie z równości (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. otrzymujemy równość ZA - 1 = re P. (\ displaystyle A ^ (-1) = DP).

W przypadku zastosowania rozkładu LU nie jest wymagana permutacja kolumn macierzy D, jednak rozwiązanie może być rozbieżne nawet jeśli macierz A nie jest osobliwa.

Złożoność algorytmu wynosi O(n³).

Metody iteracyjne

Metody Schultza

( Ψ k = mi - ZA U k , U k + 1 = U k ∑ ja = 0 n Ψ k ja (\ Displaystyle (\ początek (przypadki) \ Psi _ (k) = E-AU_ (k), \\ U_ ( k+1)=U_(k)\suma _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(przypadki)))

Oszacowanie błędu

Wybór wstępnego przybliżenia

Problem wyboru przybliżenia początkowego w rozważanych tutaj iteracyjnych procesach inwersji macierzy nie pozwala na traktowanie ich jako niezależnych metod uniwersalnych, konkurujących z metodami bezpośredniej inwersji, bazującymi na przykład na dekompozycji LU macierzy. Istnieje kilka zaleceń dotyczących wyboru U 0 (\ displaystyle U_ (0)), zapewniający spełnienie warunku ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (promień widmowy macierzy jest mniejszy od jedności), co jest konieczne i wystarczające dla zbieżności procesu. Jednak w tym przypadku po pierwsze trzeba znać z góry oszacowanie widma odwracalnej macierzy A lub macierzy ZA T (\ displaystyle AA ^ (T))(mianowicie, jeśli A jest symetryczną macierzą dodatnio określoną i ρ (A) ≤ β (\ Displaystyle \ rho (A) \ równoważnik \ beta), to możesz wziąć U 0 = α mi (\ Displaystyle U_ (0) = (\ alfa) E), Gdzie ; jeśli A jest dowolną macierzą nieosobliwą i ρ (A A T) ≤ β (\ Displaystyle \ rho (AA ^ (T)) \ równoważnik \ beta), wtedy wierzą U 0 = α ZA T (\ Displaystyle U_ (0) = (\ alfa) A ^ (T)), gdzie też α ∈ (0 , 2 β) (\ Displaystyle \ alfa \ w \ lewo (0, (\ Frac (2) (\ beta)) \ prawo)); Można oczywiście uprościć sytuację i wykorzystać fakt, że ρ (A A T) ≤ k ZA ZA T k (\ Displaystyle \ rho (AA ^ (T)) \ równoważnik (\ mathcal (k)) AA ^ (T) (\ mathcal (k)}), umieścić U 0 = ZA T ‖ ZA ZA T ‖ (\ Displaystyle U_ (0) = (\ Frac (A ^ (T)) (\|AA ^ (T) \|))}). Po drugie, określając w ten sposób macierz początkową, nie ma takiej gwarancji ‖ Ψ 0 ‖ (\ Displaystyle \|\ Psi _ (0) \|) będzie niewielki (a może nawet taki się okaże ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\ Displaystyle \|\ Psi _ (0) \|> 1)), a wysoki stopień konwergencji nie zostanie ujawniony od razu.

Przykłady

Matryca 2x2

Nie można przeanalizować wyrażenia (błąd składni): (\displaystyle \mathbf(A)^(-1) = \begin(bmatrix) a & b \\ c & d \\ \end(bmatrix)^(-1) = \ frac (1)(\det(\mathbf(A))) \begin& \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end(bmatrix) = \frac(1)(ad - bc) \ Begin (bmatrix) \,\,\,d & \!\!-b\\ -c & \,a \\ \end(bmatrix).)

Odwrócenie macierzy 2x2 jest możliwe tylko pod warunkiem, że za re - b do = det ZA ≠ 0 (\ displaystyle ad-bc = \ det A \ neq 0).

Aby rozwiązać układ równań liniowych (3) w odniesieniu do x 1 Skorzystajmy z metody Gaussa.

Pozostałe układy równań liniowych (2) rozwiązuje się w podobny sposób.

Wreszcie grupa wektorów kolumnowych x 1 , x 2 , ..., x n tworzy macierz odwrotną A-1.

Zauważ, że po znalezieniu macierzy permutacji P 1 , P 2 , ... , P n-1 i macierze wyjątków M 1, M 2, ..., M n-1(patrz strona Metoda eliminacji Gaussa) i konstruowanie macierzy

M=M n-1 P n-1 ...M 2 P 2 M 1 P 1 ,

układ (2) można przekształcić do postaci

• MAx 1 = Ja 1,
• MAx 2 = Me 2,
• ......
• MAx n = Me n .

Stąd są x 1 , x 2 , ..., x n, z różnymi prawymi stronami Ja 1, Ja 2, ..., Me n.

Obliczając macierz odwrotną, wygodniej jest dodać macierz jednostkową po prawej stronie pierwotnej macierzy i zastosować metodę Gaussa w kierunkach do przodu i do tyłu.

Spójrzmy na to na przykładzie.

Przykład obliczenia macierzy odwrotnej

Załóżmy, że musimy znaleźć macierz odwrotną A-1 dla danej matrycy A:

Zapiszmy macierz tożsamości po prawej stronie:

Wybierz wiodący element „4” (ponieważ ma on największą wartość bezwzględną) i zamień pierwszą i trzecią linię:

Zastosuj eliminację Gaussa do pierwszej kolumny:

Zmieniamy układ drugiego i trzeciego wiersza i stosujemy eliminację Gaussa dla drugiej kolumny.